Chứng minh rằng phép tịnh tiến theo vectơ v là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng d và d’

Giải Toán 11 Bài Ôn tập chương I

Video Giải Bài tập 4 trang 34 SGK Toán lớp 11 Hình học

Bài tập 4 trang 34 SGK Toán lớp 11 Hình học:

Lời giải:

Lấy A bất kì thuộc đường thẳng d, xác định điểm B sao cho $\overrightarrow{AB}=\frac{\overrightarrow{v}}{2}$, qua B kẻ đường thẳng $\text{d}\text{'}\parallel \text{d}$. Khi đó d' chính là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ $\frac{\overrightarrow{v}}{2}$.

Lấy M là một điểm bất kì, gọi M’ = Đ_d(M) và M’’ = Đ_d(M’).

Gọi $M_0=MM\text{'}\cap d$ và $M_1=M\text{'}M"\cap d\text{'}$

Suy ra M₀ và M₁ lần lượt là trung điểm của MM’ và M’M”.

Ta có $\overrightarrow{MM\text{'}}=2\overrightarrow{M_{0}M\text{'}}$ và $\overrightarrow{M\text{'}M"}=2\overrightarrow{M\text{'}{M}_1}$

Suy ra $\overrightarrow{MM"}=\overrightarrow{MM\text{'}}+\overrightarrow{M\text{'}M"}$ $=2\overrightarrow{M_{0}M\text{'}}+2\overrightarrow{M\text{'}{M}_1}$

$=2\left(\overrightarrow{M_{0}M\text{'}}+\overrightarrow{M\text{'}{M}_1}\right)=2\overrightarrow{M_0{M}_1}=2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{v}$

Suy ra $T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)=M"$.

Vậy phép tịnh tiến theo vector $\overrightarrow{v}$ là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng d và d’.