Chứng tỏ mỗi cặp phân thức sau bằng nhau: 3/(2x-3)

Giải Toán 8 Bài Ôn tập chương 2

Video Giải Bài 57 trang 61 Toán 8 Tập 1

Bài 57 trang 61 Toán 8 Tập 1:

a) $\frac{3}{2x-3}$ và $\frac{3x+6}{2x^2+x-6};$

b) $\frac{2}{x+4}$ và $\frac{2x^2+6x}{x^3+7x^2+12x}$.

Lời giải

a) Cách 1: Rút gọn biểu thức chưa tối giản:

Ta có: $\frac{3x+6}{2x^2+x-6}=\frac{3\left(x+2\right)}{\left(2x-3\right)\left(x+2\right)}=\frac{3}{2x-3}.$

Vậy $\frac{3}{2x-3}=\frac{3x+6}{2x^2+x-6}.$

Cách 2: Quy đồng mẫu thức hai phân thức:

Ta có: 2x² + x – 6 = (2x – 3)(x +2)

MTC: (2x – 3)(x +2)

Nhân tử phụ của phân thức thứ nhất là x + 2: $\frac{3}{2x-3}=\frac{3\left(x+2\right)}{\left(2x-3\right)\left(x+2\right)}=\frac{3x+6}{2x^2+x-6}.$

Mẫu thức của phân thức thứ hai là MTC nên không phải quy đồng.

Vậy $\frac{3}{2x-3}=\frac{3x+6}{2x^2+x-6}.$

Cách 3: Sử dụng định nghĩa

Ta có: 

3(2x² + x – 6) = 3.2x² + 3x – 3.6 = 6x² + 3x – 18;

(2x – 3)(3x + 6) = 2x.3x + 2x.6 – 3.3x – 3.6

= 6x² + 12x – 9x – 18 = 6x² + 3x – 18.

Suy ra 3(2x² + x – 6) = (2x – 3)(3x + 6).

Do đó $\frac{3}{2x-3}=\frac{3x+6}{2x^2+x-6}.$

Vậy $\frac{3}{2x-3}=\frac{3x+6}{2x^2+x-6}.$

b) $\frac{2}{x+4}$ và $\frac{2x^2+6x}{x^3+7x^2+12x}$.

Cách 1: Rút gọn biểu thức chưa tối giản:

Ta có: $\frac{2x^2+6x}{x^3+7x^2+12x}=\frac{2x\left(x+3\right)}{x\left(x^2+7x+12\right)}$

$=\frac{2x\left(x+3\right)}{x\left(x+3\right)\left(x+4\right)}=\frac{2}{x+4}.$

Vậy $\frac{2}{x+4}=\frac{2x^2+6x}{x^3+7x^2+12x}.$

Cách 2: Quy đồng mẫu thức hai phân thức:

Ta có: 

x³ + 7x²  + 12x = x(x² + 7x + 12) = x(x + 3)(x + 4).

MTC: x(x + 3)(x + 4).

Nhân tử phụ của phân thức thứ nhất là x(x + 3): $\frac{2}{x+4}=\frac{2x\left(x+3\right)}{x\left(x+3\right)\left(x+4\right)}=\frac{2x^2+6x}{x^3+7x^2+12}.$

Mẫu thức của phân thức thứ hai là MTC nên không phải quy đồng.

Vậy $\frac{2}{x+4}=\frac{2x^2+6x}{x^3+7x^2+12x}.$

Cách 3: Sử dụng định nghĩa:

Ta có: 2(x³ + 7x² + 12x) = 2x³ + 14x² + 24x;

(x + 4)(2x² + 6x) = x.2x² + x.6x + 4.2x² + 4.6x

= 2x³ + 6x² + 8x² + 24x = 2x³ + 14x² + 24x;

Suy ra 2(x³ + 7x² + 12x) = (x + 4)(2x² + 6x).

Vậy $\frac{2}{x+4}=\frac{2x^2+6x}{x^3+7x^2+12x}.$