Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của lăng trụ đứng

Giải Toán 8 Ôn tập chương 4

Video Giải Bài 51 trang 127 Toán 8 Tập 2

Bài 51 trang 127 Toán 8 Tập 2:

a) Hình vuông cạnh a;

b) Tam giác đều cạnh a;

c) Lục giác đều cạnh a;

d) Hình thang cân, đáy lớn là 2a, các cạnh còn lại bằng a;

e) Hình thoi có hai đường chéo là 6a và 8a.

Lời giải:

Gọi h là chiều cao của hình lăng trụ đứng.

a)

Diện tích xung quanh: S_xq  = 2.p.h = 4.a.h

Diện tích 1 đáy là: S_d = a².

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ:

S_tp = S_xq  + 2.S_d = 4ah + 2a².

Thể tích lăng trụ: V = S_d.h  = a².h

b)

Gọi hình lăng trụ đứng đáy là tam giác đều là ABC. A’B’C’.

Gọi H là trung điểm BC.

Vì đáy ABC là tam giác đều nên đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Chiều cao của tam giác đều :

$AH=\sqrt{A{B}^2-B{H}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Diện tích xung quanh:

S_xq = 2.p.h = 3ah

Diện tích một đáy:

 $S_d=\frac{1}{2}.a.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Diện tích toàn phần:

$S_{tp}=3ah\text{}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=3ah\text{}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

Thể tích:

$V=S_d.h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.h=\frac{a^{2}h\sqrt{3}}{4}$

c)

Gọi hình lăng trụ đứng có đáy là lục giác đều là ABCDEF. A’B’C’D’E’F’.

Gọi O và O’ lần lượt là tâm 2 đáy.

Diện tích xung quanh:

S_xq = 2p.h = 6ah.

Vì đáy ABCDEF là lục giác đều nên lục giác này được chia ra thành 6 tam giác đều cạnh bằng a.

Diện tích tam giác đều cạnh a (theo câu b) là:

 $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Do đó, diện tích 1 đáy của hình lăng trụ là

 $S_d=6.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Diện tích toàn phần:

$S_{tp}=S_{xq}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2S_d=6ah+\text{}2.\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}=6ah+\text{\hspace{0.17em}}3a^2\sqrt{3}$

Thể tích lăng trụ:

$V=S_d.h=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}.h=\frac{3a^{2}h\sqrt{3}}{2}$

d)

Gọi hình lăng trụ là ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thang cân: AB = BC = CD = a; AD = 2a

Diện tích  xung quanh:

  S_xq = 2ph = (2a + a + a+ a) .h = 5ah

Trong mp(ABCD) kẻ; BH vuông AD và CK vuông AD.

Ta có, tứ giác BCKH là hình bình hành (vì có các cạnh đối đôi một song song )

Suy ra: HK = BC = a.

Suy ra: $AH=HK=\frac{AD-HK}{2}=\frac{a}{2}$

Tam giác AHB vuông tại B nên:

$BH=\sqrt{A{B}^2-A{H}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Diện tích 1 đáy của hình lăng trụ là:

$S_d=\frac{(2a+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}a).\frac{a\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$

Diện tích toàn phần:

$S_{tp}=5ah+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2.\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}=5ah+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Thể tích của lăng trụ:

$V=S.h=\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}.h=\frac{3a^{2}h\sqrt{3}}{4}$

e)

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Suy ra: O là trung điểm của AC và trung điểm của BD.

Cạnh của hình thoi là:

$BC=\sqrt{O{B}^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}O{C}^2}=\sqrt{{\left(3a\right)}^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{\left(4a\right)}^2}=5a$

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là:

S_xq = 2ph = 4.5.a.h = 20ah

Diện tích một đáy của lăng trụ là:

$S_d=\frac{1}{2}.6a.8a=24a^2$

Diện tích toàn phần:

$S_{tp}=20ah+2.24a^2=20ah+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}48a^2$

Thể tích lăng trụ: V = S. h = 24a².h