Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Ôn tập chương 1

Bài 84 trang 120 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

a) Chứng minh $\frac{DE}{DB}=\frac{DB}{DC}$.

b) Chứng minh tam giác BDE đồng dạng với tam giác CDB.

c) Tính tổng $\widehat{AEB}+\widehat{BCD}$ bằng hai cách

Cách 1: Sử dụng kết quả ở câu b)

Cách 2: Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác

Lời giải:

a)

Xét tam giác vuông ABD vuông tại A

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$B{D}^2=A{D}^2+A{B}^2=a^2+a^2=2a^2\Rightarrow BD=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$

Ta có: $\frac{DE}{DB}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\frac{DB}{DC}=\frac{a\sqrt{2}}{a+a}=\frac{a\sqrt{2}}{2a}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \frac{DE}{DB}=\frac{DB}{DC}$

b)

Xét tam giác BDE và tam giác CDB

$\frac{DE}{DB}=\frac{DB}{DC}$

Góc $\widehat{BDE}$ chung

Do đó, tam giác BDE và tam giác CDB đồng dạng theo trường hợp cạnh – góc – cạnh

c)

Xét tam giác ABD vuông tại A

Có AB = AD = a

Do đó, tam giác ABD vuông cân tại A

$\Rightarrow \widehat{BDA}=\widehat{ABD}={45}^o$

tam giác BDE và tam giác CDB đồng dạng

$\Rightarrow \widehat{BED}=\widehat{CBD}$

Mặt khác:

$\widehat{AEB}+\widehat{BCD}=\widehat{BED}+\widehat{BCD}=\widehat{CBD}+\widehat{BCD}\left(3\right)$

Xét tam giác BCD

$\widehat{ADB}=\widehat{CBD}+\widehat{BCD}=\widehat{ADB}={45}^o$ (4)  

(tính chất góc ngoài)

Từ (3) và (4) ta suy ra  $\widehat{AEB}+\widehat{BCD}={45}^o$

Cách 2:

Ta có: AE = AD + DE = 2a

Xét tam giác ABE vuông tại A

Ta có:

$\tan \widehat{AEB}=\frac{AB}{AE}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{AEB}\approx {26}^{o}34\text{'}$

Xét tam giác ABC vuông tại A

Ta có:

$\tan \widehat{ACB}=\frac{AB}{AC}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3}\Rightarrow \widehat{ACB}\approx {18}^{o}26\text{'}$

Suy ra $\widehat{AEB}+\widehat{ACB}$

$={26}^{o}34\text{'}+{18}^{o}26\text{'}={45}^o$

Vậy $\widehat{AEB}+\widehat{BCD}=\widehat{AEB}+\widehat{ACB}={45}^o$