Cho tam giác ABC vuông tại A

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Ôn tập chương 1

Bài 96 trang 122 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH,CH có độ dài lần lượt là 4cm, 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.a) Tính độ dài đoạn thẳng DE

b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH.

c) Tính diện tích tứ giác DENM.

Lời giải:

a) Ta có:

$HD\perp AB\Rightarrow \widehat{ADH}={90}^{o}HE\perp AC\Rightarrow \widehat{AEH}={90}^o$

Do đó, tứ giác ADHE có 3 góc vuông (thêm góc $\widehat{DAE}={90}^o$) nên nó là hình chữ nhật.

$\Rightarrow$ AH = DE

Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$A{H}^2=HB.HC=4.9=36\Rightarrow AH=\sqrt{36}=6\left(cm\right)$

Vậy DE = AH = 6cm

b) Gọi G là giao điểm của AH và DE

Ta có: GA = GD = GH = GE (do ADHE là hình chữ nhật)

Do đó, tam giác GHD cân tại G

Ta có:

$\widehat{GDH}=\widehat{GHD}$ (1)

$\widehat{GDH}+\widehat{MDH}={90}^o$ (2)

$\widehat{GHD}+\widehat{MHD}={90}^o$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra:  

$\widehat{MDH}=\widehat{MHD}$(4)

Do đó, tam giác MDH cân tại M

$\Rightarrow$ MD = MH (5)

Lại có:

$\widehat{MDH}+\widehat{MDB}={90}^o$ (6)

$\widehat{MBD}+\widehat{MHD}={90}^o$ (7)

Từ  (4), (6), (7) ta suy ra:  

$\widehat{MBD}=\widehat{MDB}$

Do đó, tam giác MBD cân tại M

$\Rightarrow$ MB = MD (8)

Từ (5) và (8) ta suy ra

MB = MH hay M là trung điểm của BH

Mặt khác:

Tam giác GHE cân tại G (do GH = GE)

$\Rightarrow \widehat{GHE}=\widehat{GEH}$ (9)

$\widehat{GHE}+\widehat{NHE}={90}^o$ (10)

$\widehat{GEH}+\widehat{NEH}={90}^o$ (11)

Từ (9), (10), (11) suy ra  

$\widehat{NHE}=\widehat{NEH}$(12)

Do đó, tam giác NEH cân tại N  

$\Rightarrow NE=NH$(13)

Lại có:

$\widehat{NEC}+\widehat{NEH}={90}^o$ (14)

$\widehat{NHE}+\widehat{NCE}={90}^o$ (15)

Từ (12), (14), (15) ta suy ra $\widehat{NEC}=\widehat{NCE}$

Do đó, tam giác NCE cân tại N (16)

Từ (13) và (16) suy ra:

NC = NH hay N là trung điểm của CH

c) Tam giác BDH vuông tại D có DM là trung tuyến ứng với cạnh huyền

$\Rightarrow DM=\frac{1}{2}BH=\frac{1}{2}.4=2$ (cm)

Tam giác CEH vuông tại E có EN là trung tuyến ứng với cạnh huyền

$\Rightarrow EN=\frac{1}{2}CH=\frac{1}{2}.9=4,5$ (cm)

Mà $MD\perp DE,NE\perp DE$ nên MD // NE

Do đó, DEMN là hình thang

$S_{DEMN}=\frac{DM+NE}{2}.DE=\frac{2+4,5}{2}.6=19,5\left(c{m}^2\right)$