Cho tam giác ABC vuông ở A

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Ôn tập chương 1

Bài 90 trang 121 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

a) Tính BC, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$

b) Phân giác của góc A cắt BC tại D. Tính BD, CD.

c) Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuông góc với AB và AC. Tứ giác AEDF là hình gì ? Tính chu vi và diện tích của tứ giác AEDF.

Lời giải:

a)

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp  dụng định lí Py-ta-go ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=6^2+8^2=100\Rightarrow BC=\sqrt{100}=10$

Ta lại có:

$\sin C=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{10}=0,6\Rightarrow \widehat{C}\approx {36}^{o}52\text{'}$

Mặt khác:

$\widehat{A}={90}^o\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}={90}^o\Rightarrow \widehat{B}={90}^o-\widehat{C}={90}^o-{36}^{o}52\text{'}={53}^{o}8\text{'}$

b)

Xét tam giác vuông ABC vuông tại A

AD là đường phân giác nên $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$ (tính chất đường phân giác)

$\Rightarrow \frac{BD}{BD+DC}=\frac{AB}{AB+AC}\Rightarrow \frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}$

$\Rightarrow BD=\frac{BC.AB}{AB+AC}=\frac{10.6}{6+8}=\frac{30}{7}\approx 4,286\left(cm\right)$

$DC=BC-BD=10-\frac{30}{7}=\frac{40}{7}\approx 5,714\left(cm\right)$

c)

Xét tứ giác AEDF

$\widehat{A}=\widehat{AED}=\widehat{AFD}={90}^o$

Do đó, AEDF là hình chữ nhật

Ta lại có: D nằm trên tia phân giác của góc A nên DE = DF (tính chất tia phân giác)

Do đó, AEDF là hình vuông

Xét tam giác BAC

Vì DE vuông góc với AB, AC vuông góc với AB nên DE // AC

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

$\frac{CD}{BC}=\frac{AE}{AB}\Rightarrow AE=\frac{CD.AB}{BC}=\frac{\frac{40}{7}.6}{10}=\frac{24}{7}$

Chu vi hình vuông AEDF là:

$4.AE=4.\frac{24}{7}=\frac{96}{7}\approx 13,714$ (cm)

Diện tích hình vuông AEDF là:

$A{E}^2={\left(\frac{24}{7}\right)}^2=\frac{576}{49}\approx 11,755\left(c{m}^2\right)$