Cho tam giác ABC vuông ở A

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Ôn tập chương 1

Bài 97 trang 122 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông ở A, $\widehat{C}={30}^o$,BC = 10cm.

a) Tính AB, AC

b) Từ A kẻ AM, AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc B. Chứng minh MN // BC và MN = AB

c) Chứng minh hai tam giác MAB và ABC đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.

Lời giải:

a) Xét tam giác vuông ABC

Ta có:

$AB=BC.\sin C=10\sin {30}^o=5$ (cm)

$AC=BC.\cos C=10.cos{30}^o=5\sqrt{3}$ (cm)

b) Ta có: BM vuông góc với BN (do hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau)

$\Rightarrow \widehat{MBN}={90}^o$ (1)

$AM\perp BM\Rightarrow \widehat{AMB}={90}^o$ (2)

$AN\perp BN\Rightarrow \widehat{ANB}={90}^o$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra tứ giác AMBN là hình chữ nhật

$\Rightarrow$ AM = BN , BM = AN, AB = MN

Xét tam giác AMB và tam giác NBM

AB = MN

AM = BN

$\widehat{AMB}=\widehat{NBM}={90}^o$

Do đó, tam giác AMB bằng tam giác NBM (theo trường hợp cạnh – góc – cạnh)

$\Rightarrow \widehat{ABM}=\widehat{NMB}$

Mà $\widehat{ABM}=\widehat{MBC}\Rightarrow \widehat{NMB}=\widehat{MBC}$

Do đó, MN // BC (có cặp góc so le trong bằng nhau)

Vì AMBN là hình chữ nhật nên AB = MN

c) Tam giác ABC vuông tại A nên

$\widehat{ABC}+\widehat{C}={90}^o\Rightarrow \widehat{ABC}={90}^o-\widehat{C}={90}^o-{30}^o={60}^o$

$\Rightarrow \widehat{ABM}=\frac{1}{2}A\widehat{BC}=\frac{1}{2}{.60}^o={30}^o$

Xét tam giác ABC và tam giác MAB có:

$\widehat{BAC}=\widehat{AMB}={90}^o\widehat{ACB}=\widehat{ABM}={30}^o$

Do đó, tam giác ABC đồng dạng với tam giác MAB theo trường hợp góc – góc

Tỉ số đồng dạng $k=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$