Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2a

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Ôn tập chương 1

Bài I.2 trang 123 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

Lời giải:

Vì M, N lần lượt là trung điểm của BC và DC nên

BM = MC = DN = NC = 2a : 2 = a

Xét tam giác AND vuông tại D (do ABCD là hình vuông)

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$A{N}^2=A{D}^2+D{N}^2={\left(2a\right)}^2+a^2=5a^2\Rightarrow AN=\sqrt{5a^2}=a\sqrt{5}$

Xét tam giác ABM vuông tại B

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$A{M}^2=A{B}^2+B{M}^2={\left(2a\right)}^2+a^2=5a^2\Rightarrow AM=\sqrt{5a^2}=a\sqrt{5}$

Kẻ đường cao MH của tam giác AMN

Xét tam giác MHA vuông tại H

Ta có:

$\sin \widehat{NAM}=\frac{HM}{AM}\Rightarrow HM=AM.\sin \widehat{NAM}$

Diện tích tam giác AMN là:

$S_{AMN}=\frac{1}{2}AN.MH=\frac{1}{2}AN.AM.\sin \widehat{NAM}=\frac{1}{2}.a\sqrt{5}.a\sqrt{5}.\sin \widehat{NAM}=\frac{5a^2}{2}\sin \widehat{NAM}$

Mặt khác:

$S_{AMN}=S_{ABCD}-S_{ABM}-S_{ADN}-S_{MNC}=A{B}^2-\frac{1}{2}AB.BM-\frac{1}{2}AD.DN-\frac{1}{2}MC.NC=4a^2-\frac{1}{2}2a.a-\frac{1}{2}2a.a-\frac{1}{2}a.a=\frac{3}{2}{a}^2$

Có: $S_{AMN}=\frac{5a^2}{2}.\sin \widehat{NAM}-\frac{3a^2}{2}$

$\Rightarrow \sin \widehat{NAM}=\frac{\frac{3a^2}{2}}{\frac{5a^2}{2}}=\frac{3}{5}$

Mà: ${\sin }^2\widehat{NAM}+co{s}^2\widehat{NAM}=1$

$\Rightarrow co{s}^2\widehat{NAM}=1-{\sin }^2\widehat{NAM}$

$\Rightarrow cos\widehat{NAM}=\sqrt{1-{\sin }^2\widehat{NAM}}=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}$