Cho hình 107, trong đó ABCD là hình vuông

Giải Toán 8 Bài 12: Hình vuông

Video Giải Bài 82 trang 108 Toán 8 Tập 1

Bài 82 trang 108 Toán 8 Tập 1: Cho hình 107, trong đó ABCD là hình vuông. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình vuông.

Lời giải:

Do ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Ta có: EB = AB – AE, CF = BC – BF,

DG = DC – CG, AH = AD – DH

Mà AE = BF = CG = DH (gt)

và AB = BC = CD = DA (cmt)

$\Rightarrow$ BE = CF = DG = HA

Xét $\Delta AEH$ và $\Delta BFE$, có:

$\widehat{EAH}=\widehat{FBE}=90°$

AE = BF (gt)

HA= BE (cmt)

$\Rightarrow$ ΔAEH = ΔBFE (c – g – c)

$\Rightarrow$ EH = FE (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét $\Delta CGF$ và $\Delta BFE$, có:

$\widehat{GCF}=\widehat{FBE}=90°$

CG = BF (gt)

CF = BE (cmt)

$\Rightarrow$ ΔCGF = ΔBFE (c – g – c)

$\Rightarrow$ GF = FE (hai cạnh tương ứng) (2)

Xét ΔCGF và ΔDHG, có:

$\widehat{GCF}=\widehat{HDG}=90°$

CG = DH (gt)

CF = DG (cmt)

$\Rightarrow$ ΔCGF = ΔDHG (c – g – c)

$\Rightarrow$ GF = HG (hai cạnh tương ứng) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: HE = EF = FG = GH.

Suy ra tứ giác EFGH là hình thoi

Vì ΔAEH = ΔBFE (cmt)

$\Rightarrow \widehat{AHE}=\widehat{\text{BEF}}$ (2 góc tương ứng)

Mà $\widehat{AHE}+\widehat{\text{AEH}}={90}^0$ (hai góc phụ nhau)

$\Rightarrow \widehat{AEH}+\widehat{\text{BEF}}=90°$

Ta lại có: $\widehat{AEH}+\widehat{\text{BEF}}+\widehat{\text{HEF}}=180°$

$\widehat{\text{HEF}}=180°-\left(\widehat{AEH}+\widehat{\text{BEF}}\right)={180}^0-{90}^0={90}^0$

Hình thoi EFGH có $\widehat{\text{HEF}}={90}^0$ nên EFGH là hình vuông.