Chứng minh mặt phẳng (Ax, By) song song với mặt phẳng

Giải Toán 11 Bài Ôn tập chương 2

Video Giải Bài tập 4 trang 78 SGK Toán lớp 11 Hình học

Bài tập 4 trang 78 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt ở cùng phía đối với mặt phẳng (ABCD), song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (β) lần lượt cắt Ax, By, Cz và Dt tại A’, B’, C’ và D’.

a) Chứng minh mặt phẳng (Ax, By) song song với mặt phẳng (Cz, Dt).

b) Gọi $I=AC\cap BD$ , $J=A\text{'}C\text{'}\cap B\text{'}D\text{'}$. Chứng minh IJ song song với AA’.

c) Cho AA’ = a, BB’ = b, CC’ = c. Hãy tính DD’.

Lời giải:

a) Ax // Dt (giả thiết)

Suy ra Ax // (Cz, Dt) (1)

AB // CD (vì ABCD là hình bình hành).

Mà $CD\subset \left(Cz,Dt\right)$

Suy ra AB // (Cz, Dt)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra (Ax, AB) // (Cz, Dt) 

Hay (Ax, By) // (Cz, Dt)

b) Ta có: 

Tương tự ta chứng minh được: A’D’ // B’C’

Do đó A’B’C’D’ là hình bình hành.

$J=A\text{'}C\text{'}\cap B\text{'}D\text{'}$ nên J là trung điểm của A’C’.

A’C’CA là hình thàng vì AA’ // CC’. Mà I là trung điểm AC nên IJ là đường trung bình hình thang A’C’CA.

Vậy IJ // AA’

c) Chứng minh tương tự câu b ta có IJ là đường trung bình của hình thang BDD’B’.

Theo tính chất của đường trung bình hình thang ta có:

$\begin{array}{l}IJ=\frac{1}{2}\left(AA\text{'}+CC\text{'}\right)\\ IJ=\frac{1}{2}\left(BB\text{'}+DD\text{'}\right)\end{array}$

Suy ra $\begin{array}{l}AA\text{'}+CC\text{'}=2IJ\\ BB\text{'}+DD\text{'}=2IJ\end{array}$

Do đó: AA’ + CC’ = BB’ + DD’

Suy ra DD’ = AA’ + CC’ − BB’

Vậy DD’ = a + c − b