Chứng minh BK = CH

Giải Toán 8 Ôn tập chương 3

Video Giải Bài 58 trang 92 Toán 8 Tập 2

Bài 58 trang 92 Toán 8 Tập 2:

a) Chứng minh BK = CH.

b) Chứng minh KH // BC.

c) Cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng HK.

Hướng dẫn câu c):

- Vẽ thêm đường cao AI, xét hai tam giác đồng dạng IAC và HBC rồi tính CH.

- Tiếp theo, xét hai tam giác đồng dạng AKH và ABC rồi tính HK.

Lời giải:

a) Xét tam giác BKC và tam giác CHB có:

BC chung

$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$(vì tam giác ABC cân tại A)

$\widehat{BKC}=\widehat{BHC}={90}^0$

Do đó, ∆BKC = ∆CHB (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra: BK = CH.

b) Ta có: Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC

Theo ý a ta có BK = CH

Suy ra: AK = AH (do AB = AC tam giác cân)

Do đó: $\frac{AK}{AB}=\frac{AH}{AC}$

Suy ra: KH // BC (định lí Ta- let đảo).

c) Ta có: đường cao BH cắt đường cao CK tại M nên M là trực tâm tam giác ABC

Suy ra: AM vuông góc BC tại I.

Ta có: ∆AIC $~$ ∆ BHC ( vì $\widehat{AIC}=\widehat{BHC}={90}^0;\widehat{C}chung)$

$\Rightarrow \frac{IC}{HC}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow \frac{\frac{a}{2}}{HC}=\frac{b}{a}\Rightarrow HC=\frac{a^2}{2b}\Rightarrow AH=AC-HC=b-\frac{a^2}{2b}=\frac{2b^2-a^2}{2b}$

Mà HK // BC nên

$\frac{HK}{BC}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow HK=\frac{BC.AH}{AC}$

Suy ra:

$HK=\frac{a}{b}.\left(\frac{2b^2-a^2}{2b}\right)=\frac{2a{b}^2-a^3}{2b^2}$