Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết a) un=2n+9/n+3

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 2 trang 64

Bài 1 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n), biết

a) $u_n=\frac{2n+9}{n+3};$

b) $u_n=\frac{1}{\sqrt{2024+n}};$

c) $u_n=\frac{n!}{2^n}.$

Lời giải:

a) Ta có:

⦁ $u_n=\frac{2n+9}{n+3}=2+\frac{3}{n+3}$, suy ra 2 < u_n < 3, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số bị chặn.

⦁ $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ = $\frac{\frac{1}{\sqrt{2024+n+1}}}{\frac{1}{\sqrt{2024+n}}}$ = $\frac{\sqrt{2024+n}}{\sqrt{2025+n}}<1$, suy ra u_n+1 < u_n, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số

Suy ra u_n+1 < u_n, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số giảm.

Do đó, (u_n) là dãy số giảm và bị chặn.

b) Ta có:

⦁ $0<\frac{1}{\sqrt{2024+n}}<\mathrm{1,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ suy ra 0 < u_n < 1, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số bị chặn.

⦁ $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2024+n+1}}}{\frac{1}{\sqrt{2024+n}}}=\frac{\sqrt{2024+n}}{\sqrt{2025+n}}<\mathrm{1,}$ suy ra u_n+1 < u_n, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số giảm.

Do đó, (u_n) là dãy số giảm và bị chặn.

c) Ta có

⦁ $u_n=\frac{n!}{2^n}>\mathrm{0,}$ ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số bị chặn dưới.

⦁ $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\left(n+1\right)!2^n}{n!2^{n+1}}=\frac{n+1}{2}\ge \mathrm{1,}$ ∀n ∈ ℕ^* suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số tăng.

Do đó, (u_n) là dãy số tăng và bị chặn dưới.