Sách bài tập Toán 11 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Hai mặt phẳng vuông góc

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 1 trang 61 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông cân tại B và AB ⊥ (BCD). Cho biết BC = $a\sqrt{2}$ , AB = $\frac{a}{\sqrt{3}}$. Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD).

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của CD.

Ta có: CD ⊥ BI và CD ⊥ AB suy ra CD ⊥ AI.

Ta nhận thấy: CD là giao tuyến của 2 mặt phẳng (ACD) và (BCD);

Mà

Suy ra $\left(\right(ACD),(BCD\left)\right)=(AI,BI)=\widehat{AIB}.$

Tam giác BCD vuông cân tại B nên $BI=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}.BC.\sqrt{2}=a.$

Xét tam giác ABI vuông tại B, ta có:

$\tan \widehat{AIB}=\frac{AB}{BI}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{AIB}=30°.$

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là $\widehat{AIB}=30°$ .

Bài 2 trang 61 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a. Cho biết SA = a và SA ⊥ (ABCD). Trên BC lấy điểm I sao cho tam giác SDI vuông tại S. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SDI) và (ABCD) là 60°. Tính độ dài SI.

Lời giải:

Vẽ AK ⊥ ID (K ϵ ID).

Ta có ID ⊥ SA và ID ⊥ AK (1)

$\Rightarrow$ ID ⊥ (SAK) $\Rightarrow$ ID ⊥ SK. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\left(\left(SDI\right),\left(ABCD\right)\right)=\widehat{AKS}=60°.$

Xét tam giác SAK vuông tại A có:

$\sin \widehat{AKS}=\frac{SA}{SK}\Rightarrow SK=\frac{SA}{\sin 60°}=\frac{2a}{\sqrt{3}}$

Tam giác SAD vuông tại A, ta có: $SD=\sqrt{a^2+4a^2}=a\sqrt{5}$

Xét tam giác SID vuông tại S, ta có:

$\frac{1}{S{K}^2}=\frac{1}{S{I}^2}+\frac{1}{S{D}^2}\iff \frac{1}{S{I}^2}=\frac{1}{S{K}^2}-\frac{1}{S{D}^2}$.

Do đó $SI=\frac{2a\sqrt{55}}{11}$.

Bài 3 trang 61 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và SA ⊥ (ABC).

a) Chứng minh rằng (SBC) ⊥ (SAB).

b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh rằng (SBM) ⊥ (SAC).

Lời giải:

a)Ta có: BC ⊥ AB (giả thiết);

Đồng thời BC ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABC)).

$\Rightarrow$ BC ⊥ (SAB)

$\Rightarrow$ (SBC) ⊥ (SAB).

b)Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B nên BM ⊥ AC.

Mà BM ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABC))

$\Rightarrow$ BM ⊥ (SAC) (1)

BM $\subset$ (SBM) (2)

Từ (1) và (2) suy ra (SBM) ⊥ (SAC).

Bài 4 trang 61 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. Chứng minh rằng:

a) (SBC) ⊥ (SAB);

b) (SCD) ⊥ (SAD);

c) (SBD) ⊥ (SAC);

d) (SAC) ⊥ (AHK).

Lời giải:

a)Theo giả thiết:

Suy ra SA ⊥ (ABCD).

Khi đó:

$\Rightarrow$ BC ⊥ (SAB) $\Rightarrow$ (SBC) ⊥ (SAB).

b)Theo giả thiết:

Suy ra SA ⊥ (ABCD).

Khi đó:

$\Rightarrow$ CD ⊥ (SAD) $\Rightarrow$ (SCD) ⊥ (SAD).

c)Ta có:

$\Rightarrow$ BD ⊥ (SAC) $\Rightarrow$ (SBD) ⊥ (SAC).

d)Ta có:

(SAB) ⊥ (SBC) (Chứng minh trên);

(SAB) $\cap$ (SBC) = SB;

Do đó AH ⊥ (SBC)

Mà AH ⊥ SB (giả thiết).

Nên AH ⊥ SC. (1)

Tương tự: AK ⊥ SC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SC ⊥ (AHK).

Vậy (SAC) ⊥ (AHK).

Bài 5 trang 62 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = $a\sqrt{3}$ . Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi (a) là mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD).

a) Tìm các giao tuyến của mặt phẳng (a) với các mặt của hình chóp.

b) Các giao tuyến ở câu a tạo thành hình gì? Tính diện tích của hình đó.

Lời giải:

a) Ta có:

(SAB) ⊥ (ABCD);

(SAD) ⊥ (ABCD);

Do đó SA ⊥ (ABCD).

(SAB) $\cap$ (SAD) = SA.

Dễ dàng chứng minh được (SAD) ⊥ (SCD).

Vẽ AM ⊥ SD (M $\in$ SD) $\Rightarrow$ AM ⊥ (SCD)

Do đó (ABM) ⊥ (SCD) hay (ABM) là mặt phẳng (α) qua AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD).

Trong mặt phẳng (SCD) kẻ MN // CD (N$\in$ SC).

Suy ra: MN // AB$\Rightarrow$ MN $\subset$ (α).

Vậy các giao tuyến của (α) với các mặt của hình chóp là AB, BN, NM, MA.

b)

Ta có: MN // AB;AB ⊥ AM (vì AB ⊥ (SAD)).

Suy ra ABNM là hình thang vuông tại A và M.

Tam giác SAD vuông tại A có AM là đường cao nên:

$\frac{1}{A{M}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{D}^2}=\frac{1}{3a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{4}{3a^2}\Rightarrow AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Vì MN // CD nên $\frac{MN}{CD}=\frac{SM}{SD}$

$\Rightarrow \frac{MN}{CD}=\frac{S{A}^2}{SD}\cdot \frac{1}{SD}=\frac{S{A}^2}{S{D}^2}=\frac{S{A}^2}{S{A}^2+A{D}^2}=\frac{3a^2}{4a^2}$

$\Rightarrow MN=\frac{3}{4}CD=\frac{3}{4}a$

$\Rightarrow S_{ABMN}=\frac{1}{2}.AM.(MN+AB)=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\left(\frac{3}{4}a+a\right)=\frac{7a^2\sqrt{3}}{16}$.

Bài 6 trang 62 SBT Toán 11 Tập 2: Người ta cần sơn tất cả các mặt của một khối bê tông hình chóp cụt tứ giác đều, đáy lớn có cạnh bằng 2 m, đáy nhỏ có cạnh bằng 1 m và cạnh bên bằng 2 m (Hình 14). Tính tổng diện tích các bề mặt cần sơn.

Lời giải:

Diện tích đáy lớn: S₁ = 2.2 = 4 m².

Diện tích đáy nhỏ: S₂ = 1.1 = 1m².

Giả sử các mặt bên có dạng như hình vẽ:

Dễ thấy: AH = 0.5 m $\Rightarrow$ $DH=\sqrt{A{D}^2-A{H}^2}=\frac{\sqrt{15}}{2}$ .

Diện tích các mặt bên: S₃ = $\frac{1}{2}.(AB+CD).DH=\frac{3\sqrt{15}}{4}$ .

Tổng diện tích các mặt cần sơn là:

S = S₁ + S₂ + 4.S₃ = 4 + 1 + 4. $\frac{3\sqrt{15}}{4}\approx$ 16,62 (m²).

Vậy tổng diện tích các bề mặt cần sơn khoảng 16,62 m².

Bài 7 trang 62 SBT Toán 11 Tập 2: Một hộp đèn treo trần có hình dạng lăng trụ đứng lục giác đều (Hình 15), cạnh đáy bằng 10 cm và cạnh bên bằng 50 cm. Tính tỉ số giữa diện tích xung quanh và diện tích một mặt đáy của hộp đèn.

Lời giải:

Diện tích xung quanh: S_xq = 6.10.50 = 3000 (cm²).

Diện tích đáy: S_đáy = 6.(10²) . $\frac{\sqrt{3}}{4}$= 150$\sqrt{3}$ (cm²).

Tỉ số diện tích: $\frac{S_{xq}}{S_{đáy}}=\frac{3000}{150\sqrt{3}}=\frac{20\sqrt{3}}{3}$ .

Vậy tỉ số giữa diện tích xung quanh và diện tích một mặt đáy của hộp đèn là $\frac{20\sqrt{3}}{3}$.

Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc

1. Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$, kí hiệu $\left(\left(\alpha \right),\left(\beta \right)\right)$.

Ta có: $\left(\left(\alpha \right),\left(\beta \right)\right)=\left(m,n\right)$ với $m\mathrm{\perp }\left(\alpha \right),n\mathrm{\perp }\left(\beta \right)$.

2. Hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là một góc vuông.

Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc được kí hiệu là $\left(P\right)\mathrm{\perp }\left(Q\right)$.

3. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Định lí 1:

Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

4. Tính chất cơ bản về hai mặt phẳng vuông góc

Định lí 2:

Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

Định lí 3:

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

5. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương

Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đúng có mặt đáy là đa giác đều.

Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có mặt đáy là hình chữ nhật.

Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.

6. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều

a) Hình chóp đều

Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

Chú ý: Hình chóp đều có:

- Các mặt bên là các tam giác cân tại đỉnh hình chóp và bằng nhau.

- Đoạn thẳng nối từ đỉnh hình chóp đến tâm của đáy thì vuông góc với mặt đáy và gọi là đường cao của hình chóp.

- Độ dài đường cao gọi là chiều cao của hình chóp đều.

b) Hình chóp cụt đều

Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một mặt phẳng song song với đáy cắt các cạnh bên của hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều.

Trong hình chóp cụt đều $A_1{A}_2\dots A_6.A{1}_{\prime }^{}A{2}_{\prime }^{}\dots A{6}_{\prime }^{}$, ta gọi:

- Các điểm $A_1,A_2,\dots ,A_6,A{1}_{\prime }^{},A{2}_{\prime }^{},\dots ,A{6}_{\prime }^{}$ là các đỉnh.

$A_1{A}_2{B}_2{B}_1,A_2{A}_3{B}_3{B}_2,\dots ,A_n{A}_1{B}_1{B}_n$ được gọi là một hình chóp cụt đều (nói đơn giản là hình chóp cụt được tạo thành từ hình chóp đều $S.A_1{A}_2\dots A_n$ sau khi cắt đi chóp đều $S\cdot B_1{B}_2\dots B_n$), kí hiệu là $A_1{A}_2\dots A_n\cdot B_1{B}_2\dots B_n$.

- Cạnh của hai đa giác đáy là cạnh đáy. Các cạnh tương ứng song song từng đôi một.

- Các hình thang cân $A_1{A}_{2}A{2}_{\prime }^{}A{1}_{\prime }^{},A_2{A}_{3}A{3}_{\prime }^{}A{2}_{\prime }^{},\dots ,A_6{A}_{1}A{1}_{\prime }^{}{A}^{\prime }6$ được gọi là các mặt bên.

- Cạnh bên của mặt bên gọi là cạnh bên của hình chóp cụt đều. Hình chóp cụt đều có các cạnh bên bằng nhau, các mặt bên là những hình thang cân.

- Đoạn thẳng nối tâm hai đáy là đường cao. Độ dài đường cao là chiều cao.

Sơ đồ tư duy Hai mặt phẳng vuông góc