Sách bài tập Toán 11 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 1 trang 55 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh $a\sqrt{2}$ . Biết rằng SA = SB = SC = SD, SO = $2a\sqrt{2}$ .

a) Chứng minh rằng SO ⊥ (ABCD).

b) Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác SAC.

Lời giải:

a)Từ giả thiết, dễ dàng nhận thấy ∆SAC và ∆SBD là các tam giác cân.

Ta có:

Do đó SO ⊥ (ABCD)

b)Ta có: AC = 2a, OC = a, $SC=\sqrt{S{O}^2+O{C}^2}=3a.$

Vẽ đường cao AH của ∆SAC.

Ta có: $AH=\frac{SO.AC}{SC}=\frac{2a\sqrt{2}.2a}{3a}=\frac{4a\sqrt{2}}{3}.$

Vậy độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác SAC bằng $\frac{4a\sqrt{2}}{3}$.

Bài 2 trang 55 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD và AC ⊥ BD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (BCD). Chứng minh rằng H là trực tâm của ∆BCD và AD ⊥ BC.

Lời giải:

Theo giả thiết:

Suy ra CD ⊥AHB

Do đó CD ⊥ BH(1)

Chứng minh tương tự: CH ⊥ BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra H là trực tâm của ∆BCD.

Do đó DH ⊥ BC.

Lại có AH ⊥ BC suy ra BC ⊥ (AHD).

Vậy H là trực tâm của ∆BCD và AD ⊥ BC.

Bài 3 trang 55 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC), ABC là tam giác cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ AH ⊥ MD tại H.

a) Chứng minh rằng AH ⊥ (BCD).

b) Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng GK ⊥ (ABC).

Lời giải:

a)Tam giác ABC cân tại A $\Rightarrow$ Trung tuyến AM ⊥ BC.

Lại có DA ⊥ (ABC) $\Rightarrow$ DA ⊥ BC.

$\Rightarrow$ BC ⊥ (ADM) $\iff$ BC ⊥ AH. (1)

Theo giả thiết: AH ⊥ DM. (2)

Từ (1) và (2) suy ra AH ⊥ (BCD).

b)Ta có: $\frac{MK}{MD}=\frac{MG}{MA}=\frac{1}{3}$ nên GK // AD (theo định lí Thalès).

Ta lại có AD ⊥ (ABC) suy ra GK ⊥ (ABC).

Bài 4 trang 55 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, O là giao điểm của hai đường chéo, SA = SC, SB = SD.

a) Chứng minh rằng SO ⊥ (ABCD).

b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BA, BC. Chứng minh rằng IJ ⊥ (SBD).

c) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC).

Lời giải:

a)Từ giả thiết, dễ dàng nhận thấy ∆SAC và ∆SBD là các tam giác cân.

Ta có:

Do đó SO ⊥ (ABCD)

b)Ta có AC ⊥ BD và AC ⊥ SO, suy ra AC ⊥ (SBD).

IJ là đường trung bình của ∆ABC nên IJ // AC.

Do đó IJ ⊥ (SBD).

c)Ta có BD ⊥ AC (ABCD là hình thoi) và BD ⊥ SO, suy ra BD ⊥ (SAC).

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $\left(\alpha \right)$, kí hiệu $d\mathrm{\perp }\left(\alpha \right)$.

Định lí 1:

Nếu một đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ thì $d\mathrm{\perp }\left(\alpha \right)$.

Định lí 2:

- Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

- Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

Định lí 3:

a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Định lí 4:

a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Định lí 5:

a) Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$. Đường thẳng nào vuông góc với $\left(\alpha \right)$ thì cũng vuông góc với a.

b) Nếu đường thẳng a và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ (không chứa a) cũng vuông góc với một đường thẳng b thì chúng song song với nhau.

3. Phép chiếu vuông góc

Định nghĩa: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d vuông góc với (P). Phép chiếu song song theo phương của d lên mặt phẳng (P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên (P).

Định lí ba đường vuông góc

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và b là đường thẳng không nằm trong (P) và không vuông góc với (P). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (P). Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’.

Sơ đồ tư duy Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng