Sách bài tập Toán 11 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Đường thẳng và mặt phẳng song song

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 1 trang 121 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi G₁ và G₂ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD và ACD. Chứng minh G₁G₂ song song với các mặt phẳng (ABC) và (BCD).

Lời giải:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DB, DC.

Xét ∆DBC có M, N lần lượt là trung điểm của DB, DC nên MN là đường trung bình của ∆DBC, suy ra MN // BC.

Do G₁ là trọng tâm ∆ABD nên $\frac{A{G}_1}{AM}=\frac{2}{3}$;

G₂ là trọng tâm ∆ACD nên $\frac{A{G}_2}{AN}=\frac{2}{3}$.

Do đó $\frac{A{G}_1}{AM}=\frac{A{G}_2}{AN}=\frac{2}{3}$.

Trong tam giác AMN, ta có $\frac{A{G}_1}{AM}=\frac{A{G}_2}{AN}=\frac{2}{3}$ nên G₁G₂ // MN (định lí Thalès đảo)

Mà MN // BC (chứng minh trên)

Suy ra G₁G₂ // MN // BC, mà BC ⊂ (ABC), MN ⊂ (BCD).

Suy ra G₁G₂ song song với các mặt phẳng (ABC) và (BCD).

Bài 2 trang 121 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là O và O’.

a) Chứng minh OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).

b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh AF, AD sao cho AM = $\frac{1}{3}$AF, AN = $\frac{1}{3}$AD Chứng minh MN // (DCEF).

Lời giải:

a) Do O, O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF nên O là trung điểm của BD, AC và O’ là trung điểm của BF, AE.

Xét trong ∆BDF có: O, O’ lần lượt là trung điểm của BD, BF nên OO’ là đường trung bình của ∆BDF, suy ra OO’ // DF (1)

Tương tự, trong ∆ACE ta cũng có OO’ // CE (2)

Từ (1) và (2) suy ra OO’ // DF // CE, mà DF ⊂ (ADF), CE ⊂ (BCE)

Suy ra OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).

b) Do AM = $\frac{1}{3}$AF, AN = $\frac{1}{3}$AD nên $\frac{AM}{AF}=\frac{AN}{AD}=\frac{1}{3}$

Xét ∆ADF có $\frac{AM}{AF}=\frac{AN}{AD}$ suy ra MN // DF (định lý Thalès đảo)

Mà DF ⊂ (DCEF), suy ra MN // (DCEF).

Bài 3 trang 122 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB, I là trung điểm của AB và M là điểm thuộc cạnh AD sao cho AM = $\frac{1}{3}$AD. Đường thẳng đi qua M và song song với AB cắt CI tại N. Chứng minh:

a) NG // (SCD);

b) MG // (SCD).

Lời giải:

a) Gọi F là giao điểm của MN và BC.

Ta có MN // AB, suy ra NF // BI (vì F ∈ MN, I ∈ AB).

Trong ∆CIB có NF // BI, nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{IN}{IC}=\frac{BF}{BC}$ (1)

Mặt khác, AM = $\frac{1}{3}$AD suy ra $\frac{AM}{AD}=\frac{1}{3}$

Lại có MF // AB // DC nên $\frac{BF}{CF}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{NI}{CI}=\frac{BF}{BC}=\frac{1}{3}$

Trong ∆SAB, ta có G là trọng tâm nên $\frac{IG}{IS}=\frac{1}{3}$.

Trong ∆SIC, ta có $\frac{GI}{SI}=\frac{NI}{CI}=\frac{1}{3},$ suy ra GN // SC (định lí Thalès đảo).

Mà SC ⊂ (SDC), do đó NG // (SDC).

b) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O là giao điểm của MI và DC.

Trong ∆OCI có MN // OC (do O ∈ DC), suy ra $\frac{IM}{IO}=\frac{IN}{IC}=\frac{1}{3}$ (theo định lí Thalès).

Mà $\frac{IG}{IS}=\frac{1}{3}$ (G là trọng tâm của ∆SAB).

Do đó, trong ∆SOI có $\frac{IM}{IO}=\frac{IG}{IS}=\frac{1}{3}$, suy ra MG // OS (định lí Thalès đảo).

Mà OS ⊂ (SDC), do đó MG // (SDC).

Bài 4 trang 122 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD, P là trung điểm của SA. Chứng minh:

a) MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD);

b) SB song song với (MNP);

c) SC song song với (MNP).

d) Gọi G₁ và G₂ theo thứ tự là trọng tâm của hai tam giác ABC và SBC. Chứng minh G₁G₂ song song với (SAD).

Lời giải:

a) Hình bình hành ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD nên MN // AD // BC

Ta có MN // BC và BC ⊂ (SBC), suy ra MN // (SBC);

MN // AD và AD ⊂ (SAD), suy ra MN // (SAD).

Vậy MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).

b) Trong ∆SAB, có P, M lần lượt là trung điểm của SA, AB nên PM là đường trung bình, suy ra PM // SB

Mà PM ⊂ (MNP), suy ra SB // (MNP).

c) Trong mặt phẳng (SAB) vẽ đường thẳng d đi qua S và song song AB.

Gọi E là giao điểm của MP và d.

Ta có d // AB hay ES // AB, mà AB // CD nên ES // DC, tức là ES // NC (1)

Ta cũng có ES // MB và EM // SB nên MBSE là hình bình hành, suy ra ES = MB

Mà MB = NC (do M, N lần lượt là trung điểm của AB, DC và AB = DC)

Suy ra ES = NC (2)

Từ (1) và (2) suy ra ESCN là hình bình hành nên SC // NE.

Lại có NE ⊂ (MNP), suy ra SC // (MNP).

d) Gọi I là trung điểm của BC.

Do G₁ và G₂ theo thứ tự là trọng tâm của ∆ABC và ∆SBC nên $\frac{I{G}_1}{IA}=\frac{I{G}_2}{IS}=\frac{1}{3}$

Trong ∆SIA, ta có $\frac{I{G}_1}{IA}=\frac{I{G}_2}{IS}=\frac{1}{3}$, suy ra G₁G₂ // SA (định lí Thalès đảo)

Mà SA ⊂ (SAD), nên G₁G₂ // (SAD).

Bài 5 trang 122 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (α) với các mặt của hình chóp.

Lời giải:

Gọi N, P, R lần lượt là trung điểm của AD, SD, SB.

Xét ∆ABD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MN là đường trung bình của tam giác. Do đó MN // BD.

Xét ∆SBD có P, R lần lượt là trung điểm của SD, SB nên PR là đường trung bình của tam giác. Do đó PR // BD.

Từ các kết quả trên ta có: MN // PR (do cùng song song với BD).

Suy ra bốn điểm M, N, P, R tạo thành một mặt phẳng (MNPR).

Ta có MN // BD và MN ⊂ (MNPR) nên BD // (MNPR)

Tương tự, ta cũng có SA // (MNPR)

Ta thấy (MNPR) đi qua M và song song với BD, và SA nên chính là mp(α).

Trong mặt phẳng (SAB) vẽ đường thẳng d đi qua S và d // AB // CD.

Khi đó, giả sử MR cắt d tại I, PI cắt SC tại Q.

Lúc này, mặt phẳng (α) là (MNPI).

Ta có MN ⊂ (ABCD), MN ⊂ (MNPI) nên (MNPI) ∩ (ABCD) = MN hay (α) ∩ (ABCD) = MN.

Tương tự, (α) ∩ (SAD) = NP, (α) ∩ (SCD) = PQ, (α) ∩ (SBC) = QR, (α) ∩ (SAB) = MR.

Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song

1. Đường thẳng song song với mặt phẳng

- Nếu a và $\left(P\right)$ có một điểm chung duy nhất thì ta nói a và $\left(P\right)$ cắt nhau tại A. Kí hiệu $a\cap \left(P\right)=A$ hay $a\cap \left(P\right)=\left\{A\right\}$.

- Nếu a và $\left(P\right)$ có từ 2 điểm chung phân biệt trở lên thì ta nói a nằm trong $\left(P\right)$ hay $\left(P\right)$ chứa a. Kí hiệu $a\subset \left(P\right)$ hay $\left(P\right)\supset a$.

- Nếu a và $\left(P\right)$ không có điểm chung thì ta nói a song song với $\left(P\right)$ hay $\left(P\right)$song song với a. Kí hiệu là $a//\left(P\right)$ hay $\left(P\right)//a$.

*Đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) nếu chúng không có điểm chung.

2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng

• Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P) thì ta nói $a//\left(P\right)$.

3. Tính chất cơ bản của đường thẳng và mặt phẳng song song

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b thì a // b.

* Hệ quả:

- Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu qua điểm M thuộc (P) ta vẽ đường thẳng b song song với a thì b phải nằm trong (P).

- Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

* Mặt phẳng đi qua một trong hai đường thẳng chéo nhau và song song vơi đường thẳng còn lại

- Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì qua a, có một và chỉ một mặt phẳng song song với b.