Sách bài tập Toán 11 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Cấp số nhân

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân

Bài 1 trang 63 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 3 và $q=\frac{2}{3}$. Tìm công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.

Lời giải:

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân đó là:

$u_n=u_1\cdot q^{n-1}=3\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}=\frac{3\cdot 2^{n-1}}{3^{n-1}}=\frac{2^{n-1}}{3^{n-2}}$.

Bài 2 trang 63 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = ‒3 và $q=\frac{2}{3}$. Tìm u₅.

Lời giải:

Ta có: $u_5=u_1\cdot q^4=-3\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^4=\frac{-3\cdot 2^4}{3^4}=-\frac{16}{27}$

Bài 3 trang 63 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n) có $u_2=\frac{1}{4}$ và u₅ = 16. Tìm công bội q và số hạng đầu u₁.

Lời giải:

Ta có: u₅ = u₁.q⁴ = u₂.q³

Suy ra $q^3=\frac{u_5}{u_2}=\frac{16}{\frac{1}{4}}=64$ nên q = 4

Do đó $u_1=\frac{u_2}{q}=\frac{\frac{1}{4}}{4}=\frac{1}{16}$

Vậy q = 4 và $u_1=\frac{1}{16}.$

Bài 4 trang 63 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 1, q = 2. Số 1 024 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân đó?

Lời giải:

Ta có: u_n = u₁.q^n‒1 nên 1.2^n‒1 = 1 024 suy ra 2^n-1 = 2¹⁰

Suy ra n = 11

Vậy số 1 024 là số hạng thứ 11 của cấp số nhân đó.

Bài 5 trang 63 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (u_n), biết $\begin{array}{l}{u}_5-u_2=78\\ u_6-u_3=234.\end{array}$

Lời giải:

Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là u₁ và công bội là q. Theo giả thiết, ta có:

$\begin{array}{l}{u}_5-u_2=78\\ u_6-u_3=234\end{array}\iff \begin{array}{l}{u}_1\cdot q^4-u_1\cdot q=78\\ u_1\cdot q^5-u_1\cdot q^2=234\end{array}\iff \begin{array}{l}{u}_1\cdot q\cdot \left(q^3-1\right)=78\\ u_1\cdot q^2\cdot \left(q^3-1\right)=234\end{array}$

Suy ra $\frac{1}{q}=\frac{78}{234}=\frac{1}{3},$ do đó q = 3.

Với q = 3 thì u₁.3.(3³ – 1) = 78, suy ra u₁ = 1.

Vậy u₁ = 1 và q = 3.

Bài 6 trang 63 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n), biết u₁ = 2, u₃ = 18.

a) Tìm công bội.

b) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.

Lời giải:

a) Ta có u₃ = u₁.q² = 2.q² = 18, do đó q² = 9 suy ra q = 3 hoặc q = ‒3.

b) Nếu q = 3 thì $S_{10}=\frac{2\left(1-3^{10}\right)}{1-3}=59048$

Nếu q = ‒3 thì $S_{10}=\frac{2\left.1-{\left(-3\right)}^{10}\right]}{1-\left(-3\right)}=-29524$

Bài 7 trang 63 SBT Toán 11 Tập 1: Bác Năm gửi tiết kiệm vào ngân hàng 100 triệu đồng với hình thức lãi kép, kì hạn một năm với lãi suất 8%/năm. Tính số tiền cả gốc và lãi bác Năm nhận được sau 10 năm. (Giả sử lãi suất không thay đổi trong suốt thời gian gửi tiền.)

Lời giải:

Số tiền ban đầu T₁ = 100 (triệu đồng).

Số tiền sau 1 năm bác Năm thu được là:

T₂ = 100 + 100.8% = 100.(1 + 8%) (triệu đồng).

Số tiền sau 2 năm bác Năm thu được là:

T₃ = 100.(1 + 8%) + 100.(1 + 8%).8% = 100[(1 + 8%) + (1 + 8%).8%]

= 100(1 + 8%).(1 + 8%) = 100.(1 + 8%)² (triệu đồng).

Số tiền sau 3 năm bác Năm thu được là:

T₄ = 100.(1 + 8%)² + 100.(1 + 8%)².8% = 100[(1 + 8%)² + (1 + 8%)².8%]

= 100(1 + 8%)².(1 + 8%) = 100.(1 + 8%)³ (triệu đồng).

Số tiền sau n năm bác Năm thu được chính là một cấp số nhân với số hạng đầu T₁ = 100 và công bội q = 1 + 8% có số hạng tổng quát là:

T_{n + 1} = 100.(1 + 8%)ⁿ (triệu đồng).

Vậy số tiền cả gốc và lãi bác Năm nhận được sau 10 năm là:

T_{10 + 1} = 100.(1 + 8%)¹⁰ ≈ 215,892500 triệu đồng = 215 892 500 đồng.

Bài 8 trang 63 SBT Toán 11 Tập 1: Một người chơi nhảy bungee trên một cây cầu với một sợi dây dài 100 m. Sau mỗi lần rơi xuống, người chơi được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng 80% so với lần rơi trước và lại rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên. Tính tổng quãng đường đi lên của người đó sau 10 lần được kéo lên.

Lời giải:

Gọi u_n­ là quãng đường đi lên của người đó sau n lần kéo lên (n ∈ ℕ*).

Sau lần kéo lên đầu tiên quãng đường đi lên của người đó là:

u₁ = 100.80% = 100.0,8 = 80 (m).

Sau lần kéo lên thứ hai quãng đường đi lên của người đó là:

u₂ = 80.80% = 80.0,8 (m).

Sau lần kéo lên thứ ba quãng đường đi lên của người đó là:

u₃ = 80.80%.80% = 80.0,8.0,8 = 80.(0,8)² (m).

Khi đó, dãy số (u_n) là một cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 80 và công bội q = 0,8.

Ta có công thức tổng quát u_n = 80.(0,8)^n-1 (m).

Tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên là:

$S_{10}=\frac{80\left(1-0,8^{10}\right)}{1-0,8}\approx 357,05\left(\text{m}\right).$

Lý thuyết Cấp số nhân

1. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng ngay trước nó với một số không đổi q, nghĩa là:

$u_n=u_{n-1}.q,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

* Chú ý: Dãy $\left(u_n\right)$ là cấp số nhân thì ${u_k}^2=u_{k-1}.u_{k+1}\left(k\ge 2\right)$.

2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1$ và công bội q thì số hạng tổng quát $u_n$của nó được xác định bởi công thức

$u_n=u_1.q^{n-1},n\ge 2$

3. Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân

$S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$