Sách bài tập Toán 11 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Phép tính lũy thừa

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Phép tính lũy thừa

Bài 1 trang 7 SBT Toán 11 Tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

Lời giải:

Bài 2 trang 7 SBT Toán 11 Tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sqrt[3]{0,001}$;

b) $\sqrt[5]{-32}$;

c) $\sqrt[4]{\frac{81}{16}}$;

d) $-\sqrt[6]{{100}^3}$;

e) $\sqrt[4]{{\left(\sqrt{3}-2\right)}^4}$;

g) $\sqrt[5]{{\left(2-\sqrt{5}\right)}^5}$.

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{0,001}=\sqrt[3]{{\left(0,1\right)}^3}=0,1$.

b) $\sqrt[5]{-32}=\sqrt[5]{(-1).32}=\sqrt[5]{{\left(-1\right)}^5{.2}^5}$

= $\sqrt[5]{{\left(-1\right)}^5}.\sqrt[5]{2^5}$ = (-1).2 = -2.

c) $\sqrt[4]{\frac{81}{16}}=\sqrt[4]{\frac{3^4}{2^4}}=\sqrt[4]{{\left(\frac{3}{2}\right)}^4}=\frac{3}{2}$.

d) $-\sqrt[6]{{100}^3}=-\sqrt[6]{{\left({10}^2\right)}^3}=-\sqrt[6]{{10}^6}$ = -10.

e) $\sqrt[4]{{\left(\sqrt{3}-2\right)}^4}=\left.\sqrt{3}-2\right|=2-\sqrt{3}$.

g) $\sqrt[5]{{\left(2-\sqrt{5}\right)}^5}=2-\sqrt{5}$.

Bài 3 trang 8 SBT Toán 11 Tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sqrt[4]{125}.\sqrt[4]{5}$;

b) $\frac{\sqrt[4]{243}}{\sqrt[4]{3}}$;

c) $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{24}}$;

d) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$;

e) $\sqrt[4]{3\sqrt[3]{3}}$;

g) ${\left(-\sqrt[6]{4}\right)}^3$.

Lời giải:

a) $\sqrt[4]{125}.\sqrt[4]{5}=\sqrt[4]{125.5}=\sqrt[4]{5^3.5}=\sqrt[4]{5^4}=5$.

b) $\frac{\sqrt[4]{243}}{\sqrt[4]{3}}=\sqrt[4]{\frac{243}{3}}=\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{3^4}=3$.

c) $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{24}}=\sqrt[3]{\frac{3}{24}}=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\sqrt[3]{{\left(\frac{1}{2}\right)}^3}=\frac{1}{2}$.

d) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=\sqrt[6]{2^6}=2$.

e) $\sqrt[4]{3\sqrt[3]{3}}=\sqrt[4]{{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^3.\sqrt[3]{3}}=\sqrt[4]{{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^4}=\sqrt[3]{3}$;

g) ${\left(-\sqrt[6]{4}\right)}^3={(-1)}^3.{\left(\sqrt[6]{4}\right)}^3=-\sqrt[6]{4^3}$

= $-\sqrt[6]{{\left(2^2\right)}^3}=-\sqrt[6]{2^6}=-2$.

Bài 4 trang 8 SBT Toán 11 Tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sqrt[3]{135}-5\sqrt[3]{5}$;

b) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{81}}+3\sqrt[3]{3}$;

c) $\sqrt[4]{\sqrt[5]{16}}+\sqrt[5]{64}+2\sqrt[5]{2}$;

d) ${\left(\sqrt[4]{5}\right)}^5-\sqrt{\sqrt[4]{25}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{135}-5\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{3^3.5}-5\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{3^3}.\sqrt[3]{5}-5\sqrt[3]{5}$

= $3\sqrt[3]{5}-5\sqrt[3]{5}=-2\sqrt[3]{5}$.

b) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{81}}+3\sqrt[3]{3}=\sqrt[4]{\sqrt[3]{3^4}}+3\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{3}+3\sqrt[3]{3}=4\sqrt[3]{3}$.

c) $\sqrt[4]{\sqrt[5]{16}}+\sqrt[5]{64}+2\sqrt[5]{2}=\sqrt[4]{\sqrt[5]{2^4}}+\sqrt[5]{2^6}+2\sqrt[5]{2}$

= $\sqrt[5]{2}+2\sqrt[5]{2}+2\sqrt[5]{2}=5\sqrt[5]{2}$.

d) ${\left(\sqrt[4]{5}\right)}^5-\sqrt{\sqrt[4]{25}}={\left(\sqrt[4]{5}\right)}^4.\sqrt[4]{5}-\sqrt{\sqrt[4]{5^2}}$

= $5\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{5}=4\sqrt[4]{5}$.

Bài 5 trang 8 SBT Toán 11 Tập 2: Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $8^{-\frac{2}{3}}$;

b) ${32}^{-\frac{2}{5}}$;

c) 81^1,25;

d) ${1000}^{-\frac{5}{3}}$;

e) ${\left(\frac{16}{81}\right)}^{-\frac{1}{4}}$;

g) ${\left(\frac{8}{27}\right)}^{-\frac{2}{3}}$.

Lời giải:

a) $8^{-\frac{2}{3}}={\left(2^3\right)}^{-\frac{2}{3}}=2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$.

b) ${32}^{-\frac{2}{5}}={\left(\frac{1}{32}\right)}^{\frac{2}{5}}=\frac{1}{\sqrt[5]{{32}^2}}=\frac{1}{\sqrt[5]{{\left(2^5\right)}^2}}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$.

c) ${81}^{1,25}={81}^{\frac{5}{4}}=\sqrt[4]{{81}^5}=\sqrt[4]{{\left(3^4\right)}^5}=3^5=243$.

d) ${1000}^{-\frac{5}{3}}={\left(\frac{1}{1000}\right)}^{\frac{5}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{{1000}^5}}=\frac{1}{\sqrt[3]{{\left({10}^3\right)}^5}}=\frac{1}{{10}^5}={10}^{-5}$.

e) ${\left(\frac{16}{81}\right)}^{-\frac{1}{4}}={\left(\frac{81}{16}\right)}^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{\frac{81}{16}}=\sqrt[4]{\frac{3^4}{2^4}}=\sqrt[4]{{\left(\frac{3}{2}\right)}^4}=\frac{3}{2}$.

g) ${\left(\frac{8}{27}\right)}^{-\frac{2}{3}}={\left(\frac{27}{8}\right)}^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{{\left(\frac{27}{8}\right)}^2}$

= $\sqrt[3]{{\left.{\left(\frac{3}{2}\right)}^3\right]}^2}={\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$.

Bài 6 trang 8 SBT Toán 11 Tập 2: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng một lũy thừa (a > 0):

a) $\sqrt[4]{2^{-3}}$;

b) $\frac{1}{\sqrt[5]{2^3}}$;

c) ${\left(\sqrt[5]{3}\right)}^4$;

d) $\sqrt{a\sqrt[3]{a}}$;

e) $\sqrt[3]{a}.\sqrt[4]{a^3}:{\left(\sqrt[6]{a}\right)}^5$;

g) $a^{\frac{1}{3}}:a^{-\frac{3}{2}}.a^{-\frac{2}{3}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt[4]{2^{-3}}=\sqrt[4]{{\left(\frac{1}{2}\right)}^3}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{3}{4}}=2^{-\frac{3}{4}}$.

b) $\frac{1}{\sqrt[5]{2^3}}=\frac{1}{2^{\frac{3}{5}}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{3}{5}}=2^{-\frac{3}{5}}$.

c) ${\left(\sqrt[5]{3}\right)}^4=\sqrt[5]{3^4}=3^{\frac{4}{5}}$.

d) $\sqrt{a\sqrt[3]{a}}=\sqrt{{\left(\sqrt[3]{a}\right)}^3.\sqrt[3]{a}}=\sqrt{{\left(\sqrt[3]{a}\right)}^4}=\sqrt{\sqrt[3]{a^4}}=\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{2}{3}}$.

e) $\sqrt[3]{a}.\sqrt[4]{a^3}:{\left(\sqrt[6]{a}\right)}^5=a^{\frac{1}{3}}.a^{\frac{3}{4}}:a^{\frac{5}{6}}=a^{\frac{1}{3}+\frac{3}{4}-\frac{5}{6}}=a^{\frac{1}{4}}$.

g) $a^{\frac{1}{3}}:a^{-\frac{3}{2}}.a^{-\frac{2}{3}}=a^{\frac{1}{3}-\left(-\frac{3}{2}\right)+\left(-\frac{2}{3}\right)}=a^{\frac{1}{3}+\frac{3}{2}-\frac{2}{3}}=a^{\frac{7}{6}}$.

Bài 7 trang 8 SBT Toán 11 Tập 2: Sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư):

a) ${15}^{\frac{2}{5}}$;

b) ${20}^{-\frac{1}{2}}$;

c) 5,7^2,4;

d) 0,45^{– 2,38}.

Lời giải:

a) Nhập máy tính:

Ta được kết quả như sau:

Làm tròn kết quả đến số thập phân thứ tư là 2,9542.

b) Nhập máy tính:

Ta được kết quả như sau:

Làm tròn kết quả đến số thập phân thứ tư là 0,2236.

c) Nhập máy tính:

Ta được kết quả như sau:

Làm tròn kết quả đến số thập phân thứ tư là 65,1778.

d) Nhập máy tính:

Ta được kết quả như sau:

Làm tròn kết quả đến số thập phân thứ tư là 6,6889.

Bài 8 trang 9 SBT Toán 11 Tập 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $2^{\sqrt{3}+1}:2^{\sqrt{3}-1}$;

b) ${\left(3^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{8}}$;

c) ${\left.{\left(\sqrt{7}\right)}^{\sqrt{2}}\right]}^{\sqrt{8}}$;

d) $a^{2\sqrt{5}+1}:a^{2\sqrt{5}-2}$;

e) $3^{3+\sqrt{2}}.3^{-1+\sqrt{2}}.9^{1-\sqrt{2}}$;

g) ${\left(a^{-\sqrt{3}}{b}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}$.

Lời giải:

a) $2^{\sqrt{3}+1}:2^{\sqrt{3}-1}=2^{\sqrt{3}+1-(\sqrt{3}-1)}=2^2=4$.

b) ${\left(3^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{8}}=3^{\sqrt{2}.\sqrt{8}}=3^{\sqrt{2.8}}=3^{\sqrt{16}}=3^4=81$.

c) ${\left.{\left(\sqrt{7}\right)}^{\sqrt{2}}\right]}^{\sqrt{8}}={\left(\sqrt{7}\right)}^{\sqrt{2}.\sqrt{8}}={\left(\sqrt{7}\right)}^{\sqrt{2.8}}$

= ${\left(\sqrt{7}\right)}^{\sqrt{16}}={\left(\sqrt{7}\right)}^4=7^2=49$.

d) $a^{2\sqrt{5}+1}:a^{2\sqrt{5}-2}=a^{2\sqrt{5}+1-\left(2\sqrt{5}-2\right)}=a^3$.

e) $3^{3+\sqrt{2}}.3^{-1+\sqrt{2}}.9^{1-\sqrt{2}}=3^{3+\sqrt{2}}.3^{-1+\sqrt{2}}.{\left(3^2\right)}^{1-\sqrt{2}}$

= $3^{3+\sqrt{2}+\left(-1+\sqrt{2}\right)+2.\left(1-\sqrt{2}\right)}$ = 3⁴ = 81.

g) ${\left(a^{-\sqrt{3}}{b}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}={\left(a^{-\sqrt{3}}\right)}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}.{\left(b^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}$

= $a^{-\sqrt{3}.\frac{1}{\sqrt{3}}}.b^{\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{1}{\sqrt{3}}}=a^{-1}.b^{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt[3]{b}}{a}$.

Bài 9 trang 9 SBT Toán 11 Tập 2: Cho a > 0, b > 0. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\left(a^{\frac{1}{2}}+b^{-\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}}-b^{-\frac{1}{2}}\right)$;

b) $\left(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)$.

Lời giải:

a) $\left(a^{\frac{1}{2}}+b^{-\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}}-b^{-\frac{1}{2}}\right)={\left(a^{\frac{1}{2}}\right)}^2-{\left(b^{-\frac{1}{2}}\right)}^2$

= $a^{\frac{1}{2}.2}-b^{-\frac{1}{2}.2}$ = a - b^-1 = $a-\frac{1}{b}$;

b) $\left(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)={\left(a^{\frac{1}{3}}\right)}^3+{\left(b^{\frac{1}{3}}\right)}^3$

= $a^{\frac{1}{3}\cdot 3}+b^{\frac{1}{3}\cdot 3}$ = a + b.

Bài 10 trang 9 SBT Toán 11 Tập 2: Biết rằng 5^2x = 3. Tính giá trị của biểu thức $\frac{5^{3x}+5^{-3x}}{5^x+5^{-x}}$.

Lời giải:

$\frac{5^{3x}+5^{-3x}}{5^x+5^{-x}}=\frac{\left(5^x+5^{-x}\right)\left(5^{2x}-5^x{5}^{-x}+5^{-2x}\right)}{5^x+5^{-x}}$

= 5^2x - 1 + 5^-2x = 3 - 1 + $\frac{1}{3}$ = $\frac{7}{3}$.

Bài 11 trang 9 SBT Toán 11 Tập 2: Biết rằng 3^α + 3^−α = 3. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $3^{\frac{\alpha }{2}}+3^{\frac{-\alpha }{2}}$;

b) 3^2α + 3^−2α.

Lời giải:

a) ${\left(3^{\frac{\alpha }{2}}+3^{\frac{-\alpha }{2}}\right)}^2$ = $3^{\alpha }+2.3^{\frac{\alpha }{2}}.3^{-\frac{\alpha }{2}}+3^{-\alpha }$

= 3^α + 2 + 3^–α = 3 + 2 = 5

Suy ra $3^{\frac{\alpha }{2}}+3^{\frac{-\alpha }{2}}=\sqrt{5}$ (do $3^{\frac{\alpha }{2}}+3^{\frac{-\alpha }{2}}>0$).

b) 3^2α + 3^−2α = (3^α + 3^−α)² - 2.3^α.3^−α

= 3² - 2 = 7.

Bài 12 trang 9 SBT Toán 11 Tập 2: Biết rằng 4^x = 25^y = 10. Tính giá trị của biểu thức $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$.

Lời giải:

Ta có: 4^x = 25^y = 10 nên 4 = ${10}^{\frac{1}{x}}$; 25 = ${10}^{\frac{1}{y}}$.

Từ đó, ${10}^{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}={10}^{\frac{1}{x}}.{10}^{\frac{1}{y}}$ = 4.25 = 100 = 10².

Do đó $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ = 2.

Bài 13 trang 9 SBT Toán 11 Tập 2: Cường độ ánh sáng tại độ sâu h (m) dưới một mặt hồ được tính bằng công thức $I_h=I_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{h}{4}}$, trong đó I­₀ là cường độ ánh sáng tại mặt hồ đó.

a) Cường độ ánh sáng tại độ sâu 1 m bằng bao nhiêu phần trăm so với cường độ ánh sáng tại mặt hồ?

b) Cường độ ánh sáng tại độ sâu 3 m gấp bao nhiêu lần cường độ ánh sáng tại độ sâu 6 m?

Lời giải:

a) Gọi cường độ ánh sáng tại độ sâu 1 m là I₁. Cường độ ánh sáng tại độ sâu 1 m dưới một mặt hồ được tính bằng công thức:

$\frac{I_1}{I_0}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{4}}\approx 0,84$ = 84%.

Vậy cường độ ánh sáng tại độ sâu 1 m bằng 84% so với cường độ ánh sáng tại mặt hồ.

b) Tỉ số cường độ ánh sáng tại độ sâu 3 m so với cường độ ánh sáng tại độ sâu 6 m là:

$\frac{I_3}{I_6}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{3}{4}-\frac{6}{4}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-\frac{3}{4}}\approx 1,68$ (lần)

Vậycường độ ánh sáng tại độ sâu 3 m gấp khoảng 1,68 lần cường độ ánh sáng tại độ sâu 6 m.

Lý thuyết Phép tính lũy thừa

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

- Lũy thừa với số mũ nguyên dương:

- Lũy thừa với số mũ nguyên âm, số mũ 0:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n};a^0=1\left(n\in \mathbb{N}\ast ,a\in \mathbb{R},a\ne 0\right)$.

2. Căn bậc n

Cho số thực b và số nguyên $n\ge 2$.

- Số a là căn bậc n của số b nếu $a^n=b$.

- Sự tồn tại căn bậc n:

+ Nếu n lẻ thì có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu $\sqrt[n]{b}$.

+ Nếu n chẵn thì:

• b < 0: không tồn tại căn bậc n của b.
• b = 0: có một căn bậc n của b là 0.
• b > 0: có hai căn bậc n của b đối với nhau, kí hiệu giá trị dương là $\sqrt[n]{b}$ và giá trị âm là $-\sqrt[n]{b}$.

+ Các tính chất:

• $\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$
• $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
• ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}$
• $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực dương a và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$, trong đó $m,n\in \mathbb{Z},n>0$. Ta có:

$a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

4. Lũy thừa với số mũ vô tỉ

Giả sử a là một số dương, $\alpha$ là một số vô tỉ và $\left(r_n\right)$ là một dãy số hữu tỉ sao cho $lim{r}_n=\alpha$. Khi đó $a^{\alpha }=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}=a^{r_n}$.

5. Tính chất của phép tính lũy thừa

Cho a, b là những số thực dương; $\alpha ;\beta$ là những số thực bất kì. Khi đó:

$\begin{array}{l}{a}^{\alpha }.a^{\beta }=a^{\alpha +\beta };\\ \frac{a^{\alpha }}{a^{\beta }}=a^{\alpha -\beta };\\ {\left(a^{\alpha }\right)}^{\beta }=a^{\alpha \beta };\\ {\left(ab\right)}^{\alpha }=a^{\alpha }.b^{\alpha };\\ {\left(\frac{a}{b}\right)}^{\alpha }=\frac{a^{\alpha }}{b^{\alpha }}.\end{array}$