Sách bài tập Toán 11 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Dãy số

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Dãy số

Bài 1 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{n+1}{2n+1}.$ Số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số?

Lời giải:

Ta có: $\frac{n+1}{2n+1}=\frac{8}{15}$

Suy ra 15(n + 1) = 8(2n + 1), hay 15n + 15 = 16n + 8, nên n = 7.

Vậy $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ bảy của dãy số.

Bài 2 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (u_n), biết $\begin{array}{l}{u}_1=-2\\ u_{n+1}=-2-\frac{1}{u_n}.\end{array}$

Lời giải:

Bốn số hạng đầu tiên của dãy u_n là:

u₁ = ‒2;

$u_2=-2-\frac{1}{-2}=-\frac{3}{2};$

$u_3=-2-\frac{1}{-\frac{3}{2}}=-\frac{4}{3};$

$u_4=-2-\frac{1}{-\frac{4}{3}}=-\frac{5}{4};$

Ta dự đoán được số hạng tổng quát của dãy số (u_n) là $u_n=-\frac{n+1}{n}$

Bài 3 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) xác định bởi $\begin{array}{l}{u}_1=4\\ u_{n+1}=u_n+n\left(n\ge 1\right)\text{.}\end{array}$ Tìm số hạng thứ năm của dãy số đó.

Lời giải:

Ta có:

u₂ = u₁ + 1 = 4 + 1 = 5;

u₃ = u₂ + 2 = 5 + 2 = 7;

u₄ = u₃ + 3 = 7 + 3 = 10

Do đó, số hạng thứ năm của dãy số là u₅ = u₄ + 4 = 10 + 4 = 14.

Bài 4 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính bị chặn của dãy số (u_n) với u_n = (‒1)ⁿ.

Lời giải:

Ta có:

u₁ = (‒1)¹ = −1; u₃ = (‒1)³ = −1; …

u₂ = (‒1)² = 1; u₄ = (‒1)⁴ = 1; …

Do đó ‒1 ≤ u_n ≤ 1, suy ra (u_n) là dãy bị chặn.

Bài 5 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau:

a) $u_n=\frac{2n-13}{3n-2};$

b) $u_n=\frac{n^2+3n+1}{n+1};$

c) $u_n=\frac{1}{\sqrt{1+n+n^2}}.$

Lời giải:

a) Số hạng tổng quát của (u_n) là $u_n=\frac{2n-13}{3n-2}$ nên $u_{n+1}=\frac{2\left(n+1\right)-13}{3\left(n+1\right)-2}=\frac{2n-11}{3n+1}$

Xét $u_{n+1}-u_n=\frac{2n-11}{3n+1}-\frac{2n-13}{3n-2}$

$=\frac{\left(2n-11\right)\left(3n-2\right)-\left(2n-13\right)\left(3n+1\right)}{\left(3n+1\right)\left(3n-2\right)}$

$=\frac{6n^2-37n+22-\left(6n^2-37n-13\right)}{\left(3n+1\right)\left(3n-2\right)}$

$=\frac{35}{\left(3n+1\right)\left(3n-2\right)}>\mathrm{0,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}}.$

Suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^*. Suy ra (u_n) là dãy số tăng.

Mặt khác, ta có: $u_n=\frac{2n-13}{3n-2}=\frac{\frac{2}{3}\left(3n-2\right)-\frac{35}{3}}{3n-2}=\frac{2}{3}-\frac{35}{3\left(3n-2\right)}$

⦁ Do $n\ge 1\Rightarrow 3n-2\ge 1\Rightarrow \frac{35}{3\left(3n-2\right)}\le \frac{35}{3}$$\Rightarrow \frac{2}{3}-\frac{35}{3\left(3n-2\right)}\ge \frac{2}{3}-\frac{35}{3}=-11$

⦁ Do $n\ge 1\Rightarrow 3n-2\ge 1>0\Rightarrow \frac{35}{3\left(3n-2\right)}>0$$\Rightarrow \frac{2}{3}-\frac{35}{3\left(3n-2\right)}<\frac{2}{3}$

Suy ra $-11\le u_n<\frac{2}{3},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$, suy ra (u_n) là dãy số bị chặn.

b) Số hạng tổng quát của (u_n) là $u_n=\frac{n^2+3n+1}{n+1}$

Nên $u_{n+1}=\frac{{\left(n+1\right)}^2+3\left(n+1\right)+1}{\left(n+1\right)+1}=\frac{n^2+5n+5}{n+2}$

$u_{n+1}-u_n=\frac{n^2+5n+5}{n+2}-\frac{n^2+3n+1}{n+1}$

$=\frac{\left(n^2+5n+5\right)\left(n+1\right)-\left(n^2+3n+1\right)\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$

$=\frac{n^3+n^2+5n^2+5n+5n+5-\left(n^3+2n^2+3n^2+6n+n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$

$=\frac{n^2+3n+3}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}>\mathrm{0,}\forall n\in \mathbb{N}\text{*}$

Suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^*. Suy ra (u_n) là dãy số tăng.

Mặt khác, ta có $u_n>\frac{n^2+2n+1}{n+1}=n+1\ge \mathrm{2,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$. Suy ra (u_n) là dãy số bị chặn dưới.

c) Số hạng tổng quát của (u_n) là $u_n=\frac{1}{\sqrt{1+n+n^2}}$

Nên $u_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(n+1\right)+{\left(n+1\right)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{n^2+3n+3}}$

Ta có u_n > 0, ∀n ∈ ℕ^* nên $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{1}{\sqrt{n^2+3n+3}}}{\frac{1}{\sqrt{n^2+n+1}}}=\sqrt{\frac{n^2+n+1}{n^2+3n+3}}<\mathrm{1,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}}\text{.}$

Suy ra u_n+1 < u_n, ∀n ∈ ℕ^*. Suy ra (u_n) là dãy số giảm.

Mặt khác, ta có $n\ge 1;n^2\ge 1\Rightarrow 1+n+n^2\ge 3\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+n+n^2}}\le \frac{1}{\sqrt{3}}$ $0<u_n\le \frac{1}{\sqrt{3}},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$. Suy ra (u_n) là dãy số bị chặn.

Bài 6 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau:

a) $u_n=n-\sqrt{n^2-1};$

b) $u_n=\frac{n+{\left(-1\right)}^n}{n^2};$

c) $u_n=\frac{3^n-1}{2^n}.$

Lời giải:

a) Ta có: $u_{n+1}-u_n=\left.\left(n+1\right)-\sqrt{{\left(n+1\right)}^2-1}\right]-\left(n+\sqrt{n^2-1}\right)$

$=1-\sqrt{{\left(n+1\right)}^2-1}-\sqrt{n^2-1}<\mathrm{0,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$

Suy ra $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm.

b) Xét $u_n=\frac{n+{\left(-1\right)}^n}{n^2},$ ta có: $u_1=0;u_2=\frac{3}{4};u_3=\frac{2}{9}$,suy ra $\begin{array}{l}{u}_2>u_1\\ u_3<u_2\end{array}$.

Do đó, (u_n) là dãy số không tăng, không giảm.

c) Ta có

$u_{n+1}-u_n=\frac{3^{n+1}-1}{2^{n+1}}-\frac{3^n-1}{2^n}=\frac{{3.3}^n-1}{2^{n+1}}-\frac{{2.3}^n-2}{2^{n+1}}=\frac{3^n+1}{2^{n+1}}>\mathrm{0,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$

Do đó, (u_n) là dãy số tăng.

Bài 7 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) với $u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}.$

Lời giải:

Ta có: $u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2};u_{n+1}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}+\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}$

Suy ra $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$. Suy ra (u_n) là dãy số tăng.

Ta có: $u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}$, suy ra u_n > 1 ∀n ∈ N*. (1)

Hơn nữa: $u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}<1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots +\frac{1}{\left(n-1\right)n},\forall n\in \mathbb{N}*.$

Ta có: $1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots +\frac{1}{\left(n-1\right)n}$

$=1+1-\frac{1}{n}=2-\frac{1}{n}$

Do đó $u_n<2-\frac{1}{n},$ nên u_n < 2, ∀n ∈ ℕ*. (2)

Từ (1) và (2) ta có 1 < u_n < 2, ∀n ∈ ℕ*.

Suy ra (u_n) là dãy số bị chặn.

Lý thuyết Dãy số

1. Định nghĩa dãy số

• Dãy số vô hạn

- Hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương ${\mathbb{N}}^{\ast }$được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), nghĩa là

$u:{\mathbb{N}}^{\ast }\to \mathbb{R}$

$n\mapsto u_n=u\left(n\right)$

Dãy số trên được kí hiệu là $\left(u_n\right)$.

- Số $u_1$ là số hạng đầu; $u_n$là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

*Chú ý: Nếu $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast },u_n=c$thì $\left(u_n\right)$được gọi là dãy số không đổi.

• Dãy số hữu hạn

Trong đó, số $u_1$ gọi là số hạng đầu, $u_m$là số hạng cuối.

2. Cách cho một dãy số

Một dãy số có thể cho bằng:

- Liệt kê các số hạng (với các dãy hữu hạn).

- Công thức của số hạng tổng quát $u_n$.

- Phương pháp truy hồi:

+) Cho số hạng thứ nhất $u_1$ (hoặc một vài số hạng đầu tiên)

+) Cho một công thức tính $u_n$ theo$u_{n-1}$ (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).

- Phương pháp mô tả.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có $u_{n+1}>u_n$$,\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có $u_{n+1}<u_n$$,\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

4. Dãy số bị chặn

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn trên nếu $\mathrm{\exists }$ số M sao cho $u_n\le M,$ $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn dưới nếu $\mathrm{\exists }$ số m sao cho $u_n\ge m,$ $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho $m\le u_n\le M,$$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.