Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) với un=1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Dãy số

Bài 7 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) với $u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}.$

Lời giải:

Ta có: $u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2};u_{n+1}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}+\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}$

Suy ra $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$. Suy ra (u_n) là dãy số tăng.

Ta có: $u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}$, suy ra u_n > 1 ∀n ∈ N*. (1)

Hơn nữa: $u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}<1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots +\frac{1}{\left(n-1\right)n},\forall n\in \mathbb{N}*.$

Ta có: $1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots +\frac{1}{\left(n-1\right)n}$

$=1+1-\frac{1}{n}=2-\frac{1}{n}$

Do đó $u_n<2-\frac{1}{n},$ nên u_n < 2, ∀n ∈ ℕ*. (2)

Từ (1) và (2) ta có 1 < u_n < 2, ∀n ∈ ℕ*.

Suy ra (u_n) là dãy số bị chặn.