Anonymous

Sách bài tập Toán 11 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Giới hạn của hàm số

- asked 4 months agoVotes

0Answers

0Views

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 1 trang 84 SBT Toán 11 Tập 1: Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to - 1} (x^{3} - 3 x);$

b) $\lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5};$

c) $\lim_{x \to + \infty} \frac{4 - x}{2 x + 1} .$

Lời giải:

a) Giả sử (x_n) là dãy số bất kì thỏa mãnx_n ≠ –1 với mọi n vàlimx_n = ‒1.

Ta có: $\lim (x_{n}^{3} - 3 x_{n}) = {({limx}_{n})}^{3} - 3 \lim x_{n} = {(- 1)}^{3} - 3 \cdot (- 1) = 2.$

Vậy $\lim_{x \to - 1} (x^{3} - 3 x) = 2.$

b) Giả sử (x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn $x_{n} \geq - \frac{5}{2}$ , x_n ≠ 2với mọi n và limx_n = 2.

Ta có:

$\lim \sqrt{2 x_{n} + 5} = \sqrt{\lim 2 x_{n} + \lim 5} = \sqrt{2 \lim x_{n} + \lim 5}$

$= \sqrt{2 \cdot 2 + 5} = \sqrt{9} = 3.$

Vậy $\lim_{x \to 2} \sqrt{2 x + 5} = 3.$

c) Giả sử (x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn limx_n = +∞.

Ta có: $\lim \frac{4 - x_{n}}{2 x_{n} + 1}$ = $\frac{\lim \frac{4}{x_{n}} - \lim 1}{\lim 2 + \lim \frac{1}{x_{n}}}$ = $\frac{0 - 1}{2 + 0} = - \frac{1}{2} .$

Vậy $\lim_{x \to + \infty} \frac{4 - x}{2 x + 1} = - \frac{1}{2} .$

Bài 2 trang 84 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to - 3} (8 + 3 x - x^{2});$

b) $\lim_{x \to 2} (5 x - 1) (2 - 4 x)];$

c) $\lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - x}{{(2 x + 1)}^{2}};$

d) $\lim_{x \to - 1} \sqrt{10 - 2 x^{2}} .$

Lời giải:

a) $\lim_{x \to - 3} (8 + 3 x - x^{2}) = 8 + 3 \lim_{x \to - 3} x - \lim_{x \to - 3} x^{2}$

$= 8 + 3 \cdot (- 3) - {(- 3)}^{2} = - 10.$

b) $\lim_{x \to 2} (5 x - 1) (2 - 4 x)] = \lim_{x \to 2} (5 x - 1) \cdot \lim_{x \to 2} (2 - 4 x)$

$= (5 \lim_{x \to 2} x - 1) \cdot (2 - 4 \lim_{x \to 2} x)$

= (5.2 ‒ 1)(2 ‒ 4.2) = ‒54.

c) $\lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - x}{{(2 x + 1)}^{2}} = \frac{\lim_{x \to - 2} (x^{2} - x)}{\lim_{x \to - 2} (4 x^{2} + 4 x + 1)}$ $= \frac{\lim_{x \to - 2} x^{2} - \lim_{x \to - 2} x}{4 \lim_{x \to - 2} x^{2} + 4 \lim_{x \to - 2} x + 1}$

$= \frac{{(- 2)}^{2} - (- 2)}{4 \cdot {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 1} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} .$

d) $\lim_{x \to - 1} \sqrt{10 - 2 x^{2}} = \sqrt{\lim_{x \to - 1} (10 - 2 x^{2})} = \sqrt{10 - \lim_{x \to - 1} 2 x^{2}}$

$= \sqrt{10 - 2 \lim_{x \to - 1} x^{2}} = \sqrt{10 - 2. {(- 1)}^{2}} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} .$

Bài 3 trang 84 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 4}{x + 2};$

b) $\lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{1 - x};$

c) $\lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x - 3};$

d) $\lim_{x \to - 2} \frac{2 - \sqrt{x + 6}}{x + 2};$

e) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1};$

g) $\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 4} .$

Lời giải:

a) $\lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 4}{x + 2} = \lim_{x \to - 2} \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 2}$ $= \lim_{x \to - 2} (x - 2) = - 2 - 2 = - 4.$

b) $\lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 1}{1 - x} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{- (x - 1)}$

$= \lim_{x \to 1} - (x^{2} + x + 1)] = - (\lim_{x \to 1} x^{2} + \lim_{x \to 1} x + 1) = - 3.$

c) $\lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 1) (x - 3)}{x - 3}$ $= \lim_{x \to 3} (x - 1) = 3 - 1 = 2$

d) $lim_{x \to - 2} \frac{2 - \sqrt{x + 6}}{x + 2} = lim_{x \to - 2} \frac{(2 - \sqrt{x + 6}) (2 + \sqrt{x + 6})}{(x + 2) (2 + \sqrt{x + 6})}$

$= lim_{x \to - 2} \frac{4 - (x + 6)}{(x + 2) (2 + \sqrt{x + 6})} = lim_{x \to - 2} \frac{- (x + 2)}{(x + 2) (2 + \sqrt{x + 6})}$

$= lim_{x \to - 2} \frac{- 1}{2 + \sqrt{x + 6}} = \frac{- 1}{2 + \sqrt{- 2 + 6}} = - \frac{1}{4} .$

e) $lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{x (\sqrt{x + 1} + 1)}{(\sqrt{x + 1} - 1) (\sqrt{x + 1} + 1)}$

$= lim_{x \to 0} \frac{x (\sqrt{x + 1} + 1)}{(x + 1) - 1} = lim_{x \to 0} (\sqrt{x + 1} + 1) = 2.$

g) $\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 4} = \lim_{x \to 2} \frac{{(x - 2)}^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{\lim_{x \to 2} (x - 2)}{\lim_{x \to 2} (x + 2)} = \frac{0}{4} = 0.$

Bài 4 trang 84 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai hàm số f(x) và g(x) có $\lim_{x \to 4} f (x) = 2$ và $\lim_{x \to 4} g (x) = - 3.$ Tìm các giới hạn:

a) $\lim_{x \to 4} g (x) - 3 f (x)];$

b) $\lim_{x \to 4} \frac{2 f (x) \cdot g (x)}{{f (x) + g (x)]}^{2}} .$

Lời giải:

a) $\lim_{x \to 4} g (x) - 3 f (x)] = (- 3) - 3 \cdot 2 = - 9.$

b) $\lim_{x \to 4} \frac{2 f (x) \cdot g (x)}{{f (x) + g (x)]}^{2}} = \frac{2 \cdot 2 \cdot (- 3)}{{2 + (- 3)]}^{2}} = \frac{- 12}{1} = - 12.$

Bài 5 trang 84 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai hàm số f(x) và g(x) có $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 3$ và $\lim_{x \to + \infty} f (x) + 2 g (x)] = 7 .$

Tìm $\lim_{x \to + \infty} \frac{2 f (x) + g (x)}{2 f (x) - g (x)} .$

Lời giải:

Ta có $\lim_{x \to + \infty} f (x) + 2 g (x)] = 7 .$

$\Rightarrow \lim_{x \to + \infty} f (x) + 2 \lim_{x \to + \infty} g (x) = 7$

$\Rightarrow 3 + 2 \lim_{x \to + \infty} g (x) = 7$

$\Rightarrow \lim_{x \to + \infty} g (x) = 2$

Suy ra $\lim_{x \to + \infty} \frac{2 f (x) + g (x)}{2 f (x) - g (x)} = \frac{2 \lim_{x \to + \infty} f (x) + \lim_{x \to + \infty} g (x)}{2 \lim_{x \to + \infty} f (x) - \lim_{x \to + \infty} g (x)}$ $= \frac{2 \cdot 3 + 2}{2 \cdot 3 - 2} = 2 .$

Bài 6 trang 84 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f (x) = \begin{array}{l} 3 x + 4, x \leq - 1 \\ 3 - 2 x^{2}, x > - 1 . \end{array}$

Tìm các giới hạn $\lim_{x \to - 1^{+}} f (x), \lim_{x \to - 1^{-}} f (x)$ và $\lim_{x \to - 1} f (x) .$

Lời giải:

Ta có:

⦁ $\lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{+}} (3 - 2 x^{2}) = \lim_{x \to - 1^{+}} 3 - 2 \lim_{x \to - 1^{+}} x^{2}$

$= 3 - 2 \cdot {(- 1)}^{2} = 1.$

⦁ $\lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{-}} (3 x + 4) = 3 \lim_{x \to - 1^{-}} x + 4 = 3 \cdot (- 1) + 4 = 1 .$

⦁ Vì $\lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = 1$ nên $\lim_{x \to - 1} f (x) = 1 .$

Bài 7 trang 84 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f (x) = \begin{array}{l} 2 x + 1, x \leq 1 \\ \sqrt{x^{2} + a}, x > 1 . \end{array}$

Tìm giá trị của tham số a sao cho tồn tại giới hạn $\lim_{x \to 1} f (x) .$

Lời giải:

Ta có: $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (2 x + 1) = 2 \lim_{x \to 1^{-}} x + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3;$

$\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} \sqrt{x^{2} + a} = \sqrt{\lim_{x \to 1^{+}} (x^{2} + a)} = \sqrt{1 + a};$

Để tồn tại $\lim_{x \to 1} f (x)$ thì $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} f (x)$

Tức là $\sqrt{1 + a} = 3,$ suy ra a = 8.

Bài 8 trang 85 SBT Toán 11 Tập 1: Mỗi giới hạn sau có tồn tại không? Nếu có, hãy tìm giới hạn đó.

a) $\lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x|};$

b) $\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2 x}{x - 2|} .$

Lời giải:

a) Ta có:

⦁ $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{x|} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{- x} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{- 1} = \lim_{x \to 0^{-}} (- x) = 0;$

⦁ $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{x|} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{1} = \lim_{x \to 0^{+}} x = 0.$

Do $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{x|} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{x|} = 0$ nên tồn tại giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x|}$ và $\lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x|} = 0.$

b) Ta có:

⦁ $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{x^{2} - 2 x}{x - 2|} = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{x^{2} - 2 x}{x - 2}$ $= \lim_{x \to 2^{+}} \frac{x (x - 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{+}} x = 2.$

⦁ $\lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} - 2 x}{x - 2|} = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} - 2 x}{2 - x}$ $= \lim_{x \to 2^{-}} \frac{x (x - 2)}{2 - x} \lim_{x \to 2^{-}} (- x) = - 2.$

Do $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{x^{2} - 2 x}{x - 2|} \neq \lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} - 2 x}{x - 2|}$ nên không tồn tại giới hạn $\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2 x}{x - 2|} .$

Bài 9 trang 85 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to + \infty} \frac{x}{x + 4};$

b) $\lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{{(2 x + 1)}^{2}};$

c) $\lim_{x \to - \infty} \frac{3 x + 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x}};$

d) $\lim_{x \to + \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 2 x}) .$

Lời giải:

a) $\lim_{x \to + \infty} \frac{x}{x + 4} = \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{1 + \frac{4}{x}} = \frac{1}{1 + 4 \cdot 0} = 1 .$

b) $\lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{{(2 x + 1)}^{2}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{{(2 + \frac{1}{x})}^{2}} = \frac{2 + 0}{{(2 + 0)}^{2}} = \frac{1}{2} .$

c) Với x < 0 thì $\sqrt{x^{2}} = |x| = - x,$ nên ta có:

$\lim_{x \to - \infty} \frac{3 x + 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{x (3 + \frac{1}{x})}{- x \sqrt{1 - \frac{2}{x}}}$ $= \lim_{x \to - \infty} \frac{3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{1 - \frac{2}{x}}} = - \frac{3 + 0}{\sqrt{1 - 2 \cdot 0}} = - 3 .$

d) $\lim_{x \to + \infty} (x - \sqrt{x^{2} + 2 x}) = \lim_{x \to + \infty} \frac{(x - \sqrt{x^{2} + 2 x}) (x + \sqrt{x^{2} + 2 x})}{x + \sqrt{x^{2} + 2 x}}$

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} - (x^{2} + 2 x)}{x + \sqrt{x^{2} + 2 x}} = \lim_{x \to + \infty} \frac{- 2 x}{x + x \sqrt{1 + \frac{2}{x}}}$

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{- 2}{1 + \sqrt{1 + \frac{2}{x}}} = \frac{- 2}{1 + 1} = - 1 .$

Bài 10 trang 85 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to - \infty} (x^{3} + 2 x^{2} - 1);$

b) $\lim_{x \to + \infty} \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{3 x^{2} + 1};$

c) $\lim_{x \to - \infty} \sqrt{x^{2} - 2 x + 3} .$

Lời giải:

a) $\lim_{x \to - \infty} (x^{3} + 2 x^{2} - 1) = \lim_{x \to - \infty} x^{3} (1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}})]$

Ta có $\lim_{x \to - \infty} x^{3} = - \infty$ và $\lim_{x \to - \infty} (1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}) = 1 + 0 - 0 = 1.$

Suy ra $\lim_{x \to - \infty} (x^{3} + 2 x^{2} - 1) = \lim_{x \to - \infty} x^{3} (1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}})] = - \infty .$

b) $\lim_{x \to + \infty} \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{3 x^{2} + 1} = \lim_{x \to + \infty} x \cdot \frac{x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + 1}]$

Ta có $\lim_{x \to + \infty} x = + \infty$ và $\lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + 1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{3 + \frac{1}{x^{2}}} = \frac{1}{3}$

Suy ra $\lim_{x \to + \infty} \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{3 x^{2} + 1} = \lim_{x \to + \infty} x \cdot \frac{x^{2} + 2 x}{3 x^{2} + 1}] = + \infty .$

c) $\lim_{x \to - \infty} \sqrt{x^{2} - 2 x + 3} = \lim_{x \to - \infty} \sqrt{x^{2} (1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}})}$

$= \lim_{x \to - \infty} (x| \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}})$

Ta có $\lim_{x \to - \infty} x| = \lim_{x \to - \infty} (- x) = + \infty$ và $\lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}} = 1$

Suy ra $\lim_{x \to - \infty} \sqrt{x^{2} - 2 x + 3} = \lim_{x \to - \infty} (x| \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}}) = + \infty .$

Bài 11 trang 85 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm giá trị của các tham số a và b, biết rằng:

a) $\lim_{x \to 2} \frac{ax + b}{x - 2} = 5;$

b) $\lim_{x \to 1} \frac{a \sqrt{x} + b}{x - 1} = 3 .$

Lời giải:

a) Do $\lim_{x \to 2} (x - 2) = 2 - 2 = 0$ nên để tồn tại giới hạn hữu hạn $\lim_{x \to 2} \frac{ax + b}{x - 2} = 5,$ trước hết ta phải có $\lim_{x \to 2} (ax + b) = 0$ hay 2a + b = 0, suy ra b = ‒2a.

Khi đó, $\lim_{x \to 2} \frac{ax + b}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{ax - 2 a}{x - 2}$ $= \lim_{x \to 2} \frac{a (x - 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} a = a$

Suy ra a = 5 và b = ‒10.

b) Do $\lim_{x \to 1} (x - 1) = 1 - 1 = 0$ nên để tồn tại giới hạn hữu hạn $\lim_{x \to 1} \frac{a \sqrt{x} + b}{x - 1} = 3,$ trước hết ta phải có $\lim_{x \to 1} (a \sqrt{x} + b) = 0$ hay a + b = 0, suy ra b = ‒a.

Khi đó, $\lim_{x \to 1} \frac{a \sqrt{x} + b}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{a \sqrt{x} - a}{x - 1}$ $= \lim_{x \to 1} \frac{a (\sqrt{x} - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{a (\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}{(x - 1) (\sqrt{x} + 1)}$

$= lim_{x \to 1} \frac{a (x - 1)}{(x - 1) (\sqrt{x} + 1)} = lim_{x \to 1} \frac{a}{\sqrt{x} + 1} = \frac{a}{2} .$

Suy ra $\frac{a}{2} = 3$ hay a = 6, suy ra b = ‒6.

Bài 12 trang 85 SBT Toán 11 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(t, t²), t > 0, nằm trên đường parabol y = x². Đường trung trực của đoạn thẳng OM cắt trục tung tại N. Điểm N dần đến điểm nào khi điểm M dần đến điểm O?

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M(t, t^2) t > 0 nằm trên đường parabol y = x^2

Lời giải:

Trung điểm của đoạn thẳng OM là $I (\frac{t}{2}; \frac{t^{2}}{2})$

Đường trung trực của OM nhận $\vec{OM} = (t, t^{2})$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm $I (\frac{t}{2}; \frac{t^{2}}{2})$ nên có phương trình $d : t (x - \frac{t}{2}) + t^{2} (y - \frac{t^{2}}{2}) = 0$ .

Do đường trung trực của đoạn thẳng OM cắt trục tung tại N nên thay x = 0 vào phương trình của d, ta nhận được $y = \frac{1}{2} (1 + t^{2})$ .

Suy ra $N (0; \frac{1}{2} (1 + t^{2}))$

Điểm M dần đến điểm O khi t dần đến 0⁺. Ta có $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{2} (1 + t^{2}) = \frac{1}{2}$ .

Suy ra khi điểm M dần đến điểm O thì điểm N dần đến điểm $A (0; \frac{1}{2})$ .

Lý thuyết Giới hạn của hàm số

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Cho khoảng K chứa điểm $x_{0}$ và hàm số $y = f (x)$ xác định trên K hoặc trên $K ∖ {x_{0}}$ . Ta nói hàm số $y = f (x)$ có giới hạn hữu hạn là số L khi $x$ dần tới $x_{0}$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì, $x_{n} \in K ∖ {x_{0}}$ và $x_{n} \to x_{0}$ , ta có $f (x_{n}) \to L$

Kí hiệu $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ hay $f (x) \to L$ , khi $x_{n} \to x_{0}$ .

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

a, Nếu $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ và $lim_{x \to x_{0}} g (x) = M$ thì

$lim_{x \to x_{0}} [f (x) \pm g (x)] = L \pm M$

$lim_{x \to x_{0}} [f (x) . g (x)] = L . M$

$lim_{x \to x_{0}} [\frac{f (x)}{g (x)}] = \frac{L}{M} (M \neq 0)$

b, Nếu $f (x) \geq 0$ với mọi $x \in (a; b) ∖ {x_{0}}$ và $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ thì $L \geq 0$ và $lim_{x \to x_{0}} \sqrt{f (x)} = \sqrt{L}$ .

* Nhận xét:

$\begin{array}{l} a, lim_{x \to x_{0}} x^{k} = {x_{0}}^{k}, k \in Z^{+} . \\ b, lim_{x \to x_{0}} [c . f (x)] = c . lim_{x \to x_{0}} f (x) \end{array}$

( $c \in R$ , nếu tồn tại $lim_{x \to x_{0}} f (x) \in R$ )

3. Giới hạn một phía

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(x_{0}; b)$ .

Ta nói $y = f (x)$ có giới hạn bên phải là số L khi $x \to x_{0}$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì, $x_{0} < x_{n} < b$ và $x_{n} \to x_{0}$ ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = L$ .

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; x_{0})$ .

Ta nói $y = f (x)$ có giới hạn bên phải là số L khi $x \to x_{0}$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì, $a < x_{n} < x_{0}$ và $x_{n} \to x_{0}$ ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = L$ .

*Chú ý:

$lim_{x \to x_{0}} f (x) = L \Leftrightarrow lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = L$

$lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) \neq lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x)$ thì không tồn tại $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ .

Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số ở Mục 2 vẫn đúng khi ta thay $x \to x_{0}$ bằng $x \to {x_{0}}^{+}$ hoặc $x \to {x_{0}}^{-}$ .

4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; + \infty)$ . Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn là số L khi $x \to + \infty$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì $x_{n} > a$ và $x_{n} \to + \infty$ ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to + \infty} f (x) = L$ hay $f (x) \to L$ khi $x \to + \infty$ .

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(- \infty; a)$ . Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn là số L khi $x \to - \infty$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì $x_{n} < a$ và $x_{n} \to - \infty$ ta có $f (x_{n}) \to L$ , kí hiệu $lim_{x \to - \infty} f (x) = L$ hay $f (x) \to L$ khi $x \to - \infty$ .

* Nhận xét:

Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
Với c là hằng số, k là một số nguyên dương ta có:

$lim_{x \to \pm \infty} c = c,$ $lim_{x \to \pm \infty} (\frac{c}{x^{k}}) = 0$

5. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

- Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(x_{0}; b)$ .

Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn bên phải là $+ \infty$ khi $x \to x_{0}$ về bên phải nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì thỏa mãn $x_{0} < x_{n} < b$ và $x_{n} \to x_{0}$ ta có $f (x_{n}) \to + \infty$ , kí hiệu $lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = + \infty$

Ta nói hàm số $f (x)$ ó giới hạn bên phải là $- \infty$ khi $x \to x_{0}$ về bên trái nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì thỏa mãn $a < x_{n} < x_{0}$ và $x_{n} \to x_{0}$ ta có $f (x_{n}) \to + \infty$ , kí hiệu $lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = + \infty$

Các giới hạn một bên $lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = - \infty$ , $lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = - \infty$ được định nghĩa tương tự.

* Chú ý:

$lim_{x \to + \infty} x^{k} = + \infty, k \in Z^{+} .$
$lim_{x \to - \infty} x^{k} = + \infty,$ k là số nguyên dương chẵn.
$lim_{x \to - \infty} x^{k} = - \infty,$ k là số nguyên dương lẻ.
$lim_{x \to a^{+}} \frac{1}{x - a} = + \infty, lim_{x \to a^{-}} \frac{1}{x - a} = - \infty (a \in R)$