Mỗi giới hạn sau có tồn tại không? Nếu có, hãy tìm giới hạn đó

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 8 trang 85 SBT Toán 11 Tập 1: Mỗi giới hạn sau có tồn tại không? Nếu có, hãy tìm giới hạn đó.

a) $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^2}{\left.\mathrm{x}\right|};$

b) $\underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}}{\left.\mathrm{x}-2\right|}.$

Lời giải:

a) Ta có:

⦁$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2}{\left.x\right|}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2}{-x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x}{-1}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(-x\right)=0;$

⦁$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^2}{\left.x\right|}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^2}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x}{1}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x=0.$

Do $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2}{\left.x\right|}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^2}{\left.x\right|}=0$ nên tồn tại giới hạn $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{\left.x\right|}$ và $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{\left.x\right|}=0.$

b) Ta có:

⦁$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2-2x}{\left.x-2\right|}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2-2x}{x-2}$$=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x\left(x-2\right)}{x-2}\text{=}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }x=2.$

⦁ $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^2-2x}{\left.x-2\right|}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^2-2x}{2-x}$$=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x\left(x-2\right)}{2-x}\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(-x\right)=-2.$

Do $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2-2x}{\left.x-2\right|}\ne \underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^2-2x}{\left.x-2\right|}$ nên không tồn tại giới hạn $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-2x}{\left.x-2\right|}.$