Sách bài tập Toán 11 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Giải SBT Toán 11 Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Bài 1 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) $3^{2x+1}=\frac{1}{27}$;

b) 5^2x = 10;

c) 3^x = 18;

d) $0,2^{x-1}=\frac{1}{\sqrt{125}}$;

e) 5^3x = 25^{x – 2};

g) ${\left(\frac{1}{8}\right)}^{x+1}={\left(\frac{1}{32}\right)}^{x-1}$.

Lời giải:

a) 3^{2x + 1} = 3^{– 3}

⇔ 2x + 1= –3 (do 3 > 1)

⇔ x = – 2.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2.

b) 5^2x =10

⇔ 2x = log₅ 10

⇔ x = $\frac{1}{2}{\log }_{5}10$.

Vậy phương trình có nghiệm là x = $\frac{1}{2}{\log }_{5}10$.

c) 3^x = 18 ⇔ x = log₃ 18

Vậy phương trình có nghiệm là x = log₃ 18.

d) $0,2^{x-1}=\frac{1}{\sqrt{125}}$

⇔ $5^{1-x}=5^{-\frac{3}{2}}$

⇔ 1 - x = $\frac{-3}{2}$ (do 5 > 1)

⇔ x = $\frac{5}{2}$

Vậy phương trình có nghiệm là x = $\frac{5}{2}$.

e) 5^3x = 25^x–2

⇔ 5^3x = 5^2x–4

⇔ 3x = 2x – 4 (do 5 > 1)

⇔ x = – 4.

Vậy phương trình có nghiệm là x = – 4.

g) ${\left(\frac{1}{8}\right)}^{x+1}={\left(\frac{1}{32}\right)}^{x-1}$

⇔ ${\left(2^{-3}\right)}^{x+1}={\left(2^{-5}\right)}^{x-1}$

⇔ $2^{-3(x+1)}=2^{-5x+5}$

⇔ –3x – 3 = –5x + 5 (do 2 > 1)

⇔ 2x = 8 ⇔ x = 4.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 4.

Bài 2 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) log₃ (2x - 1) = 3;

b) log₄₉ x = 0,25;

c) log₂ (3x + 1) = log₂ (2x - 4);

d) log₅ (x - 1) + log₅ (x - 3) = log₅ (2x + 10);

e) log x + log (x – 3) = 1;

g) log₂ (log₈₁ x) = -2.

Lời giải:

a) Điều kiện: 2x – 1 > 0

Ta có: log₃ (2x - 1) = 3

⇔ 2x - 1 = 3³ = 27

⇔ x = 14 (nhận)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {14}.

b) Điều kiện: x > 0

Ta có: log₄₉ x = 0,25

⇔ ${\log }_{7^2}x=\frac{1}{4}$

⇔ $\frac{1}{2}{\log }_{7}x=\frac{1}{4}$

⇔ ${\log }_{7}x=\frac{1}{2}$

⇔ x = $\sqrt{7}$ (nhận)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {$\sqrt{7}$}.

c) Điều kiện: $\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{81}x>0\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}x>0\\ x>{81}^0=1\end{array}\Rightarrow x>1$

Ta có: log₂ (3x + 1) = log₂ (2x - 4)

⇔ 3x + 1 = 2x – 4 (do 2 >1)

⇔ x = – 5 (loại).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

d) Điều kiện: $\begin{array}{l}x-1>0\\ x-3>0\\ 2x+10>0\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}x>-1\\ x>3\\ x>-5\end{array}\Rightarrow x>3$

Ta có: log₅ (x - 1) + log₅ (x - 3) = log₅ (2x + 10)

⇔ ${\log }_5\left.(x-1)(x-3)\right]={\log }_5(2x+10)$

⇔ ${\log }_5\left(x^2-4x+3\right)={\log }_5(2x+10)$

⇔ x² ­– 4x + 3 = 2x + 10 (do 2 >1)

⇔ x² – 6x – 7 = 0.

⇔ x = 7 (nhận) hoặc x = –1 (loại)

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {7}.

e) Điều kiện: $\begin{array}{l}x>0\\ x-3>0\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}x>0\\ x>3\end{array}\Rightarrow x>3$

Ta có: log x + log (x – 3) = 1

⇔ log [x(x – 3)] = 1

⇔ log (x² – 3x)=1

⇔ x² – 3x – 10 = 0 (do 10 >1)

⇔ x = 5 (nhận) hoặc x = –2 (loại)

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {5}.

g) Điều kiện: $\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{81}x>0\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}x>0\\ x>{81}^0=1\end{array}\Rightarrow x>1$

Ta có: log₂ (log₈₁ x) = -2

⇔ log₈₁ x = 2^-2 ⇔ x = ${81}^{2^{-2}}$ = 3 (nhận)

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {3}.

Bài 3 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2: Giải các bất phương trình sau:

a) $4^x<2\sqrt{2}$;

b) ${\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{x-1}\ge \frac{1}{9}$;

c) $5.{\left(\frac{1}{2}\right)}^x<40$;

d) 4^2x < 8^{x –1};

e) ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{2-x}\le {\left(\frac{1}{25}\right)}^x$;

g) 0,25^{x – 2} > 0,5^{x + 1}_.

Lời giải:

a) Ta có: $4^x<2\sqrt{2}$

⇔ $2^{2x}<2\sqrt{2}$

⇔ $2x<{\log }_{2}2\sqrt{2}$

⇔ $2x<\frac{3}{2}$

⇔ $x<\frac{3}{4}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = $\left(-\infty ;\frac{3}{4}\right)$.

b) Ta có: ${\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{x-1}\ge \frac{1}{9}$

⇔ $3^{-\frac{1}{2}(x-1)}\ge 3^{-2}$

⇔ $-\frac{1}{2}(x-1)\ge -2$ (do 3 > 1)

⇔ x ≤ 5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (-∞; 5].

c) $5.{\left(\frac{1}{2}\right)}^x<40$

⇔ 2^-x < 8

⇔ 2^-x < 2³

⇔ x > -3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (-3; +∞).

d) 4^2x < 8^{x – 1}

⇔ 2^4x < 2^{3x – 3}

⇔ 4x < 3x – 3 (do 2 > 1)

⇔ x < – 3.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (-∞; -3).

e) ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{2-x}\le {\left(\frac{1}{25}\right)}^x$

⇔ 5^x-2 ≤ 5^-2x

⇔ x - 2 ≤ -2x (do 5 >1)

⇔ 3x ≤ 2 ⇔ x ≤ $\frac{2}{3}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = $\left(-\infty ;\frac{2}{3}\right]$.

g) 0,25^{x – 2} > 0,5^{x + 1}

⇔ 0,5^{2(x - 2)} > 0,5^{x + 1}

⇔ 2(x –2) < x +1 (do 0 < 0,5 < 1)

⇔ x < 5.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (-∞; 5).

Bài 4 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2: Giải các bất phương trình sau:

a) log₃ (x + 4) < 2;

b) ${\log }_{\frac{1}{2}}x\ge 4$;

c) ${\log }_{0,25}(x-1)\le -1$;

d) ${\log }_5(x^2-24x)\ge 2$;

e) $2{\log }_{\frac{1}{4}}(x+1)\ge {\log }_{\frac{1}{4}}(3x+7)$;

g) $2{\log }_3(x+1)\le 1+{\log }_3(x+7)$.

Lời giải:

a) Điều kiện: x > –4

Ta có: log₃ (x + 4) < 2 ⇔ x + 4 < 9 ⇔ x < 5

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (–4; 5).

b) Điều kiện: x > 0

Ta có: ${\log }_{\frac{1}{2}}x\ge 4\iff x\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^4\iff x\le \frac{1}{16}$

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = $\left(0;\frac{1}{16}\right]$.

c) Điều kiện: x > 1

Ta có: log_0,25 (x - 1) ≤ -1

⇔ x - 1 ≥ (0,25)^-1 (do 0 < 0, 5 < 1)

⇔ x - 1 ≥ 4

⇔ x ≥ 5

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = $\left.5;+\infty \right)$.

d) Điều kiện: $x^2-24x>0\iff \begin{array}{l}x<0\\ x>24\end{array}$

Ta có: ${\log }_5(x^2-24x)\ge 2$

⇔ x² - 24x ≥ 25

⇔ x² - 24x - 25 ≥ 0 (Do 5 > 1)

⇔ $\begin{array}{l}x\le -1\\ x\ge 25\end{array}$

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = $\left(-\infty ;-1\right]\cup \left.25;+\infty \right)$.

e) Điều kiện: $\begin{array}{l}x+1>0\\ 3x+7>0\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}x>-1\\ x>\frac{-7}{3}\end{array}\Rightarrow x>-1$

Ta có: $2{\log }_{\frac{1}{4}}(x+1)\ge {\log }_{\frac{1}{4}}(3x+7)$

⇔ ${\log }_3{(x+1)}^2\le {\log }_{3}3+{\log }_3(x+7)$${\log }_{\frac{1}{4}}{(x+1)}^2\ge {\log }_{\frac{1}{4}}(3x+7)$

⇔ x² + 2x + 1 ≤ 3x + 7 (do cơ số $0<\frac{1}{2}<1$)

⇔ x² - x - 6 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ x ≤ 3

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = (−1; 3].

g) Điều kiện: $\begin{array}{l}x+1>0\\ x+7>0\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}x>-1\\ x>-7\end{array}\Rightarrow x>-1$

Ta có: $2{\log }_3(x+1)\le 1+{\log }_3(x+7)$

⇔ ${\log }_3{(x+1)}^2\le {\log }_{3}3+{\log }_3(x+7)$

⇔ ${\log }_3{(x+1)}^2\le {\log }_3\left(3(x+7)\right)$

⇔ ${(x+1)}^2\le 3x+21$ (do cơ số 2 > 1)

⇔ (x + 1)² ≤ 3x + 21

⇔ x² + 2x + 1 ≤ 3x + 21

⇔ x² - x - 20 ≤ 0

⇔ -4 ≤ x ≤ 5

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = (–1; 5].

Bài 5 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) 4^x – 5.2^x + 4 = 0;

b) ${\left(\frac{1}{9}\right)}^x-2.{\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-1}-27=0$;

Lời giải:

a) 4^x – 5.2^x + 4 = 0;

Đặt t = 2^x (t > 0).

Khi đó: t² – 5t + 4 = 0 ⇔ $\begin{array}{l}t=4\\ t=1\end{array}$

=> $\begin{array}{l}{2}^x=4\\ 2^x=1\end{array}\iff \begin{array}{l}x={\log }_{2}4=2\\ x={\log }_{2}1=0\end{array}$.

Kết hợp với điều kiện, vậy phương trình có nghiệm x = 0 hoặc x = 2.

b) ${\left(\frac{1}{9}\right)}^x-2.{\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-1}-27=0$

⇔ ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x}-2{\left(\frac{1}{3}\right)}^x{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}-27=0$

⇔ ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x}-6{\left(\frac{1}{3}\right)}^x-27=0$

Đặt t = ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ (t > 0).

Khi đó, ta có: t² - 6t + 27 ⇔ t = 9 (nhận) hoặc t = –3 (loại)

Do đó ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ = 9 ⇔ 3^–x = 3² ⇔ x = –2.

Vậy nghiệm của phương trình là x = –2.

Bài 6 trang 23 SBT Toán 11 Tập 2: Tìm tất cả các số nguyên x thỏa mãn log₃ (x - 2) . log₃ (x - 1) < 0.

Lời giải:

Từ giả thiết, nhận được 1 < log₃ x < 2 hay 3 < x < 9.

Do đó, ta có các số nguyên cần tìm là 4; 5; 6; 7; 8.

Bài 7 trang 23 SBT Toán 11 Tập 2: Tìm tập xác định của các hàm số:

a) y = f(x) = $\sqrt{4-2^x}+\frac{1}{\sqrt{{\log }_{2}x}}$;

b) y = f(x) = $\sqrt{{\log }_{\frac{1}{2}}(x-2)}$.

Lời giải:

a) y = f(x) = $\sqrt{4-2^x}+\frac{1}{\sqrt{{\log }_{2}x}}$

Điều kiện xác định:

$\begin{array}{l}4-2^x\ge 0\\ {\log }_{2}x>0\end{array}\iff \begin{array}{l}{2}^x\le 4\\ x>2^0\end{array}$$\iff \begin{array}{l}x\le {\log }_{2}4\\ x>1\end{array}\iff \begin{array}{l}x\le 2\\ x>1\end{array}$

Tập xác định: D = (1; 2].

b) y = f(x) = $\sqrt{{\log }_{\frac{1}{2}}(x-2)}$

Điều kiện xác định:

$\begin{array}{l}x-2>0\\ {\log }_{\frac{1}{2}}(x-2)>0\end{array}\iff \begin{array}{l}x>2\\ x-2\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^0\end{array}$

=> $\begin{array}{l}x>2\\ x\le 3\end{array}\Rightarrow 2<x\le 3$

Tập xác định: D = (2; 3].

Bài 8 trang 23 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số y = f(x) = log₂ x. Biết rằng f(b) – f(a) = 5 (a, b > 0), tìm giá trị của $\frac{b}{a}$.

Lời giải:

Ta có f(b) - f(a) = log₂ b - log₂ a = ${\log }_2\left(\frac{b}{a}\right)$ = 5

⇔ $\frac{b}{a}$ = 2⁵ = 32.

Vậy $\frac{b}{a}$ = 32

Bài 9 trang 23 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hai số thực a và b thỏa mãn 125^a . 25^b = 3. Tính giá trị của biểu thức:

P = 3a + 2b.

Lời giải:

Ta có: 125^a . 25^b = 3

⇔ 5^3a . 5^2b = 3

⇔ 5^3a+2b = 3

⇔ 3a + 2b = log₅ 3.

Bài 10 trang 23 SBT Toán 11 Tập 2: Đồng vị phóng xạ Uranium - 235 (thường được sử dụng trong điện hạt nhân) có chu kỳ bán rã là T = 703 800 000 năm. Theo đó, nếu ban đầu có 100 gam Uranium - 235 thì sau t năm, do bị phân rã, lượng Uranium - 235 còn lại được tính bởi công thức M = $100{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{T}}$ (g). Sau thời gian bao lâu thì lượng Uranium-235 còn lại bằng 90% so với ban đầu?

Lời giải:

Lượng Uranium - 235 còn lại bằng 90% so với ban đầu là 90 g.

Khi đó M = 90 g, ta có phương trình:

$90=100{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{T}}\iff {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{T}}$ = 0,9

⇔ $\frac{1}{T}={\log }_{\frac{1}{2}}0,9$ ⇔ t = $T.{\log }_{\frac{1}{2}}0,9\approx 106979777$ (năm).

Vậy sau khoảng 106 979 777 năm thì lượng Uranium-235 còn lại bằng 90% so với ban đầu.

Bài 11 trang 23 SBT Toán 11 Tập 2: Người ta dùng thuốc để khử khuẩn cho một thùng nước. Biết rằng nếu lúc đầu mỗi mililit nước chứa P₀ vi khuẩn thì sau t giờ (kể từ khi cho thuốc vào thùng), số lượng vi khuẩn trong mỗi mililit nước có 9 000 vi khuẩn và sau 2 giờ, số lượng vi khuẩn trong mỗi mililit nước là 6 000. Sau thời gian bao lâu thì số lượng vi khuẩn trong mỗi mililit nước trong thùng ít hơn hoặc bằng 1 000?

Lời giải:

$6000=9{000.10}^{-2\alpha }\Rightarrow \alpha =-\frac{1}{2}\log \frac{6000}{9000}$

=> $\alpha =-\frac{1}{2}\log \frac{3}{2}$

Để số lượng vi khuẩn trong mỗi milit nước trong thùng ít hơn hoặc bằng 1 000, ta có: $9{000.10}^{-\alpha t}\le 1000$

⇔ ${10}^{-\alpha t}\le \frac{1}{9}\iff -\alpha t\le \log \frac{1}{9}$

⇔ $t\ge -\frac{2}{\alpha }\log \frac{1}{3}=\frac{2}{\frac{1}{2}\log \frac{3}{2}}.\log \frac{1}{3}$ = $\frac{4\log 3}{\log \frac{3}{2}}\approx 10,8$ (giờ).

Vậy sau khoảng 10,8 giờ thì số lượng vi khuẩn trong mỗi mililit nước trong thùng ít hơn hoặc bằng 1 000.

Bài 12 trang 23 SBT Toán 11 Tập 2: Độ pH của một dung dịch được tính theo công thức pH = – log x, trong đó x là nồng độ ion H⁺ của dung dịch đó tính bằng mol/L. Biết rằng độ pH của dung dịch A lớn hơn độ pH của dung dịch B là 0,7. Dung dịch B có nồng độ ion H⁺ gấp bao nhiêu lần nồng độ ion H⁺ của dung dịch A?

Lời giải:

Ta có: pH_A = – log x_A; pH_B = – log x_B

Khi đó pH_A – pH_B = – logx_A + logx_B = $\log \frac{x_B}{x_A}$

Do đó $\log \frac{x_B}{x_A}=0,7\Rightarrow \frac{x_B}{x_A}\approx {10}^{0,7}\approx 5$ (lần)

Vậy dung dịch B có nồng độ ion H⁺ gấp 5 lần nồng độ ion H⁺ của dung dịch A.

Lý thuyết Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

1. Phương trình mũ cơ bản

Phương trình mũ cơ bản có dạng $a^x=b$(với $a>0,a\ne 1$).

- Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất $x={\log }_{a}b$.

- Nếu b $\le$ 0 thì phương trình vô nghiệm.

Chú ý: Với $a>0,a\ne 1$

a) $a^x=a^{\alpha }\iff x=\alpha$.

b) Tổng quát hơn, $a^{u\left(x\right)}=a^{v\left(x\right)}\iff u\left(x\right)=v\left(x\right)$

Minh họa bằng đồ thị:

2. Phương trình lôgarit cơ bản

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng ${\log }_{a}x=b\left(a>0,a\ne 1\right)$.

Phương trình luôn có nghiệm duy nhất $x=a^b$.

Chú ý: Với $a>0,a\ne 1$

a) ${\log }_{a}u\left(x\right)=b\iff u\left(x\right)=a^b$.

b) ${\log }_{a}u\left(x\right)={\log }_{a}v\left(x\right)\iff \{\begin{array}{l}u\left(x\right)>0\\ u\left(x\right)=v\left(x\right)\end{array}$.

Có thể thay $u\left(x\right)>0$ bằng $v\left(x\right)>0$ (chọn bất phương trình đơn giản hơn)

Minh họa bằng đồ thị:

3. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng $a^x>b$ (hoặc $a^x\ge b,a^x<b,a^x\le b$) với $a>0,a\ne 1$.

Bảng tổng kết về nghiệm của các bất phương trình trên:

Chú ý:

Nếu a > 1 thì $a^{u\left(x\right)}=a^{v\left(x\right)}\iff u\left(x\right)>v\left(x\right)$.

Nếu 0 < a < 1 thì $a^{u\left(x\right)}>a^{v\left(x\right)}\iff u\left(x\right)<v\left(x\right)$.

4. Bất phương trình lôgarit cơ bản

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng ${\log }_{a}x>b$(hoặc ${\log }_{a}x\ge b,{\log }_{a}x<b,{\log }_{a}x\le b$) với $a>0,a\ne 1$.

Bảng tổng kết về nghiệm của các bất phương trình trên:

Chú ý:

Nếu a > 1 thì ${\log }_{a}u\left(x\right)>{\log }_{a}v\left(x\right)\iff \{\begin{array}{l}v\left(x\right)>0\\ u\left(x\right)>v\left(x\right)\end{array}$.

Nếu 0 < a < 1 thì ${\log }_{a}u\left(x\right)>{\log }_{a}v\left(x\right)\iff \{\begin{array}{l}u\left(x\right)>0\\ u\left(x\right)<v\left(x\right)\end{array}$.

Sơ đồ tư duy Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit