Sách bài tập Toán 11 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Các quy tắc tính đạo hàm

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 1 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{-3x^2}{2}+\frac{2}{x}+\frac{x^3}{3}$;

b) y = (x² − 1)(x² – 4)(x² + 9);

c) $y=\frac{x^2-2x}{x^2+x+1}$;

d) $y=\frac{1-2x}{x+1}$;

e) y = xe^{2x + 1};

g) y = (2x + 3)3^{2x + 1};

h) y = xln²x;

i) $y={\log }_2\left(x^2+1\right)$.

Lời giải:

a) $y^{\text{'}}=\frac{\left(-3\right)\mathrm{.2.}x}{2}+\frac{2.(-1)}{x^2}+\frac{3x^2}{3}=-3x-\frac{2}{x^2}+x^2$.

b) y = (x² − 1)(x² – 4)(x² + 9)

= (x⁴ – 5x² + 4)(x² + 9)

= x⁶ – 5x⁴ + 4x² + 9x⁴ – 45x² + 36

= x⁶ + 4x⁴ – 41x² + 36.

y' = 6x⁵ + 16x³ – 82x

c) $y^{\text{'}}=\frac{{\left(x^2-2x\right)}^{\text{'}}\left(x^2+x+1\right)-\left(x^2-2x\right){\left(x^2+x+1\right)}^{\text{'}}}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}$

$=\frac{\left(2x-2\right)\left(x^2+x+1\right)-\left(x^2-2x\right)\left(2x+1\right)}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}$

$=\frac{\left(2x^3-2\right)-\left(2x^3-3x^2-2x\right)}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}=\frac{3x^2+2x-x}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}$.

d) $y^{\text{'}}=\frac{{\left(1-2x\right)}^{\text{'}}\left(x+1\right)-\left(1-2x\right){\left(x+1\right)}^{\text{'}}}{{\left(x+1\right)}^2}$

$=\frac{\left(-2\right)\left(x+1\right)-\left(1-2x\right)}{{\left(x+1\right)}^2}=-\frac{3}{{\left(x+1\right)}^2}.$

e) $y\text{'}=x\text{'}{e}^{2x+1}+x\left(e^{2x+1}\right)\text{'}=e^{2x+1}+x.{\left(2x+1\right)}^{\text{'}}.e^{2x+1}$

$=e^{2x+1}+x\mathrm{.2.}{e}^{2x+1}=\left(2x+1\right)e^{2x+1}$.

g) $y^{\text{'}}=\left(2x+3\right)3^{2x+1}={\left(2x+3\right)}^{\text{'}}{3}^{2x+1}+\left(2x+3\right){\left(3^{2x+1}\right)}^{\text{'}}$

$={2.3}^{2x+1}+\left(2x+3\right){\left(2x+1\right)}^{\text{'}}{3}^{2x+1}.\ln 3$

$={2.3}^{2x+1}+\left(2x+3\right){\mathrm{.2.3}}^{2x+1}.\ln 3$

h) $y^{\text{'}}=x^{\text{'}}l{n}^{2}x+x{\left(l{n}^{2}x\right)}^{\text{'}}={\ln }^{2}x+x.2\ln x.\frac{1}{x}$

$={\ln }^{2}x+2\ln x$.

i) $y\text{'}={\log }_2\left(x^2+1\right)=\frac{{\left(x^2+1\right)}^{\text{'}}}{\left(x^2+1\right)\ln 2}=\frac{{\left(x^2+1\right)}^{\text{'}}}{\left(x^2+1\right)\ln 2}=\frac{2x}{\left(x^2+1\right)\ln 2}$.

Bài 2 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $f\left(x\right)=3x^3-4\sqrt{x}$. Tính $f\left(4\right);f^{\text{'}}\left(4\right);f\left(a^2\right);f^{\text{'}}\left(a^2\right)$ (a là hằng số khác 0).

Lời giải:

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=3.3x^2-\frac{4}{2\sqrt{x}}=9x^2-\frac{2}{\sqrt{x}}$.

• $f\left(4\right)={3.4}^3-4\sqrt{4}=184$.

• $f^{\text{'}}\left(4\right)={9.4}^2-\frac{2}{\sqrt{4}}=143$.

Vậy

Bài 3 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (1 + x²)²⁰;

b) $y=\frac{2+x}{\sqrt{1-x}}$.

Lời giải:

a) $y\text{'}=20{\left(1+x^2\right)}^{19}.{\left(1+x^2\right)}^{\text{'}}=20{\left(1+x^2\right)}^{19}.2x=40x{\left(1+x^2\right)}^{19}$.

b) $y^{\text{'}}=\frac{{\left(2+x\right)}^{\text{'}}\sqrt{1-x}-\left(2+x\right){\left(\sqrt{1-x}\right)}^{\text{'}}}{{\left(\sqrt{1-x}\right)}^2}$

$=\frac{\sqrt{1-x}-\left(2+x\right)\frac{{\left(1-x\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1-x}}}{{\left(\sqrt{1-x}\right)}^2}$

$=\frac{\sqrt{1-x}-\left(2+x\right)\left(-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\right)}{\left(1-x\right)}$

$=\frac{2\left(1-x\right)+\left(2+x\right)}{2\left(1-x\right)\sqrt{1-x}}=\frac{4-x}{2\left(1-x\right)\sqrt{1-x}}$.

Bài 4 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x}{\sin x-\cos x}$;

b) $y=\frac{\sin x}{x}$;

c) $y=\sin x-\frac{1}{3}{\sin }^{3}x$;

d) y = cos (2sinx).

Lời giải:

a) $y^{\text{'}}=\frac{x^{\text{'}}\left(\sin x-\cos x\right)-x{\left(\sin x-\cos x\right)}^{\text{'}}}{{\left(\sin x-\cos x\right)}^2}$

$=\frac{\left(\sin x-\cos x\right)-x\left(\cos x+\sin x\right)}{{\left(\sin x-\cos x\right)}^2}$.

b) $y^{\text{'}}=\frac{{\left(\sin x\right)}^{\text{'}}x-\sin x.x^{\text{'}}}{x^2}=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$

c) $y^{\text{'}}=\sin x-\frac{1}{3}{\sin }^{3}x=\cos x-\frac{1}{3}\mathrm{.3.}{\sin }^{2}x.{\left(\sin x\right)}^{\text{'}}$

$=\cos x-{\sin }^{2}x.\cos x=\cos x\left(1-{\sin }^{2}x\right)$

$=\cos x.{\cos }^{2}x={\cos }^{3}x$.

d) $y^{\text{'}}=-\sin \left(2sinx\right).{\left(2\sin x\right)}^{\text{'}}=-\sin \left(2\sin x\right).2\cos x$

$=-2\sin \left(2\sin x\right)\cos x$

Bài 5 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau:

a) y = xsin 2x;

b) y = cos²x;

c) y = x⁴ – 3x³ + x² − 1.

Lời giải:

a) $y^{\text{'}}=x^{\text{'}}\sin 2x+x{\left(\sin 2x\right)}^{\text{'}}=\sin 2x+x\cos 2x.2$

$=\sin 2x+2x\cos 2x$.

$y^{\text{'}\text{'}}=\cos 2x+{\left(2x\right)}^{\text{'}}\cos 2x+2x{\left(\cos 2x\right)}^{\text{'}}$

$=2\cos 2x+2\cos 2x+2x\left(-\sin 2x\right).2$

$=4\cos 2x-4x\sin 2x$

b) $y^{\text{'}}=2\cos x.\left(-\sin x\right)=-2\sin x\cos x=-\sin 2x$

$y^{\text{'}\text{'}}=-\cos 2x.2=-2\cos 2x$.

c) $y^{\text{'}}=4x^3–3.3x^2+2x=4x^3–9x^2+2x$.

$y^{\text{'}\text{'}}=4.3x^2-9.2x+2=12x^2-18x+2$.

Bài 6 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình s = 100 + 2t – t² trong đó thời gian được tính bằng giây và s được tính bằng mét.

a) Tại thời điểm nào chất điểm có vận tốc bằng 0?

b) Tìm vận tốc và gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3s.

Lời giải:

Ta có $s^{\text{'}}\left(t\right)=-2t+2$, suy ra ${s^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(t\right)=-2$.

a) Vận tốc chất điểm bằng 0 khi $s^{\text{'}}\left(t\right)=-2t+2=0$ hay t = 1

Vậy vận tốc chất điểm bằng 0 khi t = 1 s.

b) Khi t = 3s, ta có:

• $s^{\text{'}}\left(3\right)=\left(-2\right).3+2=-4$ (m/s);

• $s^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)=-2$ (m/s²).

Vậy khi t = 3 s thì vận tốc của chất điểm là −4 m/s; gia tốc của chất điểm là −2 m/s².

Bài 7 trang 44 SBT Toán 11 Tập 2: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t) = −2t³ + 75t + 3, trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm t =3

Lời giải:

Ta có $s^{\text{'}}\left(t\right)=-6t^2+75$, suy ra ${s^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(t\right)=-12t$.

• $s^{\text{'}}\left(3\right)=\left(-6\right){.3}^2+75=21$ (m/s).

• $s^{\text{'}\text{'}}\left(3\right)=\left(-12\right).3=-36$ (m/s²).

Vậy tại thời điểm t = 3 vận tốc của chuyển động là 21 (m/s) và gia tốc của chuyển động là −36 (m/s²).

Bài 8 trang 44 SBT Toán 11 Tập 2: Nếu số lượng sản phẩm sản xuất được của một nhà máy là x (đơn vị: trăm sản phẩm) thì lợi nhuận sinh ra là P(x) = 200(x – 2)(17 – x) (nghìn đồng). Tính tốc độ thay đổi lợi nhuận của nhà máy đó khi sản xuất 3000 sản phẩm

Lời giải:

$P^{\text{'}}\left(30\right)=\left(-400\right).30+3800=-8200$

Vậy tốc độ thay đổi lợi nhuận của nhà máy đó khi sản xuất 3000 sản phẩm là –8200 nghìn đồng.

Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm

1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc tập xác định. Khi đó

$\begin{array}{l}{\left(u+v\right)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\prime }+v^{\prime };\\ {\left(u-v\right)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\prime }-v^{\prime };\\ {\left(uv\right)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\prime }v+u{v}^{\prime };\\ {\left(\frac{u}{v}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}\left(v=v\left(x\right)\ne 0\right);\end{array}$

${\left(C.v\right)}^{\prime }=C.v^{\prime }$ (C là hằng số);

${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\prime }=-\frac{v^{\prime }}{v^2}\left(v\ne 0\right)$.

2. Đạo hàm của hàm hợp

Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là $u{x}_{\prime }^{}$ và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại y là $y{u}_{\prime }^{}$ thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là $y{x}_{\prime }^{}=y{u}_{\prime }^{}.u{x}_{\prime }^{}$.

3. Bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp

4. Đạo hàm cấp hai

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mọi điểm $x\in \left(a;b\right)$ thì ta có hàm số $y^{\prime }=f^{\prime }\left(x\right)$ xác định trên (a; b).

Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu là y” hoặc f”(x).

$f^{″}\left(x\right)={\left(f^{\prime }\left(x\right)\right)}^{\prime }$.

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai f”(t) là gia tốc tức thời tại thời điểm t của vân chuyển động có phương trình $s=f\left(t\right)$.

Sơ đồ tư duy Các quy tắc tính đạo hàm