Cho cấp số nhân (un), biết u1 = 2, u3 = 18. a) Tìm công bội

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân

Bài 6 trang 63 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n), biết u₁ = 2, u₃ = 18.

a) Tìm công bội.

b) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.

Lời giải:

a) Ta có u₃ = u₁.q² = 2.q² = 18, do đó q² = 9 suy ra q = 3 hoặc q = ‒3.

b) Nếu q = 3 thì $S_{10}=\frac{2\left(1-3^{10}\right)}{1-3}=59048$

Nếu q = ‒3 thì $S_{10}=\frac{2\left.1-{\left(-3\right)}^{10}\right]}{1-\left(-3\right)}=-29524$

*Phương pháp giải:

Sử dụng công thức truy hồi u_{n + 1} = u_n. q với .và công thức tính tổng n số hạng đầu

*Lý thuyết:

I. Định nghĩa

-Cấp số nhânlà một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi làcông bộicủa cấp số nhân.

- Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:

u_{n + 1}= u_n. q với$n\in \mathbb{N}*$.

- Đặc biệt

Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u₁, 0, 0, …., 0,…..

Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u₁, u₁, u₁, …., u₁,…

Khi u₁= 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, 0, 0,…, 0..

- Ví dụ 1. Dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân: 2, 4, 8, 16, 32 với số hạng đầu u₁= 2 và công bội q = 2.

II. Số hạng tổng quát.

- Định lí: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u₁và công bội q thì số hạng tổng quát u_nđược xác định bởi công thức: u_n= u₁.q^{n - 1}với n ≥ 2.

- Định lí:Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

$u_k^2=u_{k-1}.u_{k+\text{}1};k\ge 2$

( hay$\left.u_k\right|=\sqrt{u_{k-1}.u_{k+\text{}1}}$).

IV. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.

- Định lí:Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q ≠ 1. Đặt S_n= u₁+ u₂+ …+ u_n.

Khi đó:$S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$.

-Chú ý:Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁, u₁, u₁,….u₁,….Khi đó, S_n= n.u₁.