Cho tứ diện ABCD. Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD và ACD

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 1 trang 121 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi G₁ và G₂ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD và ACD. Chứng minh G₁G₂ song song với các mặt phẳng (ABC) và (BCD).

Lời giải:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DB, DC.

Xét ∆DBC có M, N lần lượt là trung điểm của DB, DC nên MN là đường trung bình của ∆DBC, suy ra MN // BC.

Do G₁ là trọng tâm ∆ABD nên $\frac{A{G}_1}{AM}=\frac{2}{3}$;

G₂ là trọng tâm ∆ACD nên $\frac{A{G}_2}{AN}=\frac{2}{3}$.

Do đó $\frac{A{G}_1}{AM}=\frac{A{G}_2}{AN}=\frac{2}{3}$.

Trong tam giác AMN, ta có $\frac{A{G}_1}{AM}=\frac{A{G}_2}{AN}=\frac{2}{3}$ nên G₁G₂ // MN (định lí Thalès đảo)

Mà MN // BC (chứng minh trên)

Suy ra G₁G₂ // MN // BC, mà BC ⊂ (ABC), MN ⊂ (BCD).

Suy ra G₁G₂ song song với các mặt phẳng (ABC) và (BCD).