Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông cân tại B và AB vuông góc (BCD). Cho biết BC=a căn 2

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 1 trang 61 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông cân tại B và AB ⊥ (BCD). Cho biết BC = $a\sqrt{2}$ , AB = $\frac{a}{\sqrt{3}}$. Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD).

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của CD.

Ta có: CD ⊥ BI và CD ⊥ AB suy ra CD ⊥ AI.

Ta nhận thấy: CD là giao tuyến của 2 mặt phẳng (ACD) và (BCD);

Mà

Suy ra $\left(\right(ACD),(BCD\left)\right)=(AI,BI)=\widehat{AIB}.$

Tam giác BCD vuông cân tại B nên $BI=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}.BC.\sqrt{2}=a.$

Xét tam giác ABI vuông tại B, ta có:

$\tan \widehat{AIB}=\frac{AB}{BI}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{AIB}=30°.$

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là $\widehat{AIB}=30°$ .