Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số tăng? un=1/2^n

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 2 trang 64

Câu 3 trang 64 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau, dãy số nào là dãy số tăng?

A. $u_n=\frac{1}{2^n}$.

B. $u_n=\frac{1}{n}$.

C. $u_n=\frac{n+5}{3n+1}$.

D. $u_n=\frac{2n-1}{n+1}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

⦁ Xét (u_n) với $u_n=\frac{1}{2^n}$ có $u_{n+1}=\frac{1}{2^{n+1}}$, suy ra $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{1}{2^{n+1}}:\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2}<1$

Do đó u_n+1 < u_n nên dãy số này giảm.

⦁ Xét (u_n) với $u_n=\frac{1}{n}$ có $u_{n+1}=\frac{1}{n+1}$, suy ra $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{1}{n+1}:\frac{1}{n}=\frac{n}{n+1}<1,\forall n\in \mathbb{N}*.$

Do đó u_n+1 < u_n nên dãy số này giảm.

⦁ Xét (u_n) với $u_n=\frac{n+5}{3n+1}$ có $u_{n+1}=\frac{n+1+5}{3\left(n+1\right)+1}=\frac{n+6}{3n+4}$

Suy ra $u_{n+1}-u_n=\frac{n+6}{3n+4}-\frac{n+5}{3n+1}=\frac{\left(n+6\right)\left(3n+1\right)-\left(3n+4\right)\left(n+5\right)}{\left(3n+4\right)\left(3n+1\right)}$

$=\frac{3n^2+19n+6-\left(3n^2+19n+20\right)}{\left(3n+4\right)\left(3n+1\right)}$ = $\frac{-14}{\left(3n+4\right)\left(3n+1\right)}<0,\forall n\in \mathbb{N}*.$

Do đó u_n+1 < u_n nên dãy số này giảm.

⦁ Xét (u_n) với $u_n=\frac{2n-1}{n+1}$ có $u_{n+1}=\frac{2\left(n+1\right)-1}{\left(n+1\right)+1}=\frac{2n+1}{n+2}$

Suy ra $u_{n+1}-u_n=\frac{2n+1}{n+2}-\frac{2n-1}{n+1}=\frac{\left(2n+1\right)\left(n+1\right)-\left(2n-1\right)\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$

$=\frac{2n^2+3n+1-\left(2n^2+3n-2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$ = $\frac{3}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}>0,\forall n\in \mathbb{N}*.$

Do đó u_n+1 > u_n nên dãy số này tăng.

Vậy $u_n=\frac{2n-1}{n+1}$ là dãy số tăng.