Giải Toán 10 Bài 6 (Kết nối tri thức): Hệ thức lượng trong tam giác

Giải bài tập Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài giảng Toán 10Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Mở đầu

Mở đầu trang 38 Toán 10 Tập 1: Ngắm Tháp Rùa từ bờ, chỉ với những dụng cụ đơn giản, dễ chuẩn bị, ta cũng có thể xác định được khoảng cách từ vị trí ta đứng tới Tháp Rùa. Em có biết vì sao?

Lời giải:

Sau bài này ta sẽ trả lời được:

Đặt cọc tiêu (vật cố định) tại vị trí đứng, kí hiệu là điểm A.

Sau đó, di chuyển một đoạn d (m) đến vị trí B. Gọi C là vị trí của tháp Rùa.

Tại A và B xác định góc A và góc B của tam giác ABC.

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC để tính độ dài cạnh AC.

1. Định lý Cosin

Giải Toán 10 trang 38 Tập 1

HĐ 1 trang 38 Toán 10 Tập 1: Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với vận tốc 20km/h. Sau khi đi được 1 giờ, tàu chuyển sang hướng Đông Nam rồi giữ nguyên vận tốc và đi tiếp.

a) Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong 1,5 giờ kể từ khi xuất phát (1 km trên thực tế ứng với 1 cm trên bản vẽ).

b) Hãy đo trực tiếp trên bản vẽ và cho biết sau 1,5 giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách cảng Vân Phong bao nhiêu kilômét (số đo gần đúng).

c) Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì có thể dùng Định lí Pythagore (Pi-ta-go) để tính chính xác các số đo trong câu b hay không?

Lời giải:

a) Giả sử tàu xuất phát từ điểm O như hình dưới đây.

Trong 1 giờ, tàu di chuyển theo hướng đông từ O đến A với quãng đường là:

20 . 1 = 20 (km) tương ứng với 20 cm trên sơ đồ.

Trong 0,5 giờ tiếp theo, tàu di chuyển theo hướng đông nam từ A đến B với quãng đường là:

20 . 0,5 = 10 (km) tương ứng với 10 cm trên sơ đồ.

b) Trên sơ đồ, khoảng cách từ cảng đến tàu là đoạn OB dài khoảng 28 cm.

Do đó, khoảng cách từ cảng đến tàu thực tế khoảng 28 km.

c) Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì sơ đồ đường đi của tàu như sau:

Trong 2 giờ, tàu di chuyển từ điểm xuất phát O theo hướng đông đi đến A với quãng đường OA là 20 . 2 = 40 (km) tương ứng với 40 cm trên sơ đồ.

Sau đó tàu di chuyển từ A theo hướng nam tới vị trí điểm B. Ta có thể tính được quãng đường AB khi biết thời gian di chuyển.

Ta có: AB ⊥ OA nên tam giác OAB vuông tại A.

Khi đó áp dụng định lí Pythagore ta có thể tính được chính xác OB với OB = $\sqrt{O{A}^2+A{B}^2}$= $\sqrt{1600+A{B}^2}$, do đó ta có thể xác định được chính xác khoảng cách từ điểm B nơi tàu đến tới cảng Vân Phong.

HĐ 2 trang 38 Toán 10 Tập 1: Trong Hình 3.8, hãy thực hiện các bước sau để thiết lập công thức tính a theo b, c và giá trị lượng giác của góc A.

a) Tính a² theo BD² và CD².

b) Tính a² theo b, c và DA.

c) Tính DA theo c và cos A.

d) Chứng minh a² = b² + c² – 2bc cos A.

Lời giải

a) Xét tam giác BDC vuông tại D, theo định lý Pythagore ta có:BC² = BD² + DC².

Hay a² = BD² + DC² (1)

b) Xét ΔBDA vuông tại D, ta có:

BA² = BD² + DA²

Suy ra BD² = BA² – DA² = c² – DA² (*)

Mà DC = DA + AC = DA + b nên DC² = (DA + b)² (**)

Thay (*) và (**) vào (1), ta được:

a² = c² – DA² + (DA + b)² = c² – DA² + DA² + 2b . DA + b²

= c² + b² + 2b . DA.

Vậy a² = c² + b² + 2b . DA (2)

c) Xét ΔBDA vuông tại D, ta có:

$\cos \alpha =\frac{DA}{c}$ $\Rightarrow$ DA = c. cos α.

Mà cos α = cos (180^o – A) = − cos A (do góc α và góc A bù nhau).

Do đó DA = − c. cos A.

d) Thay DA = − c. cos A vào biểu thức (2), ta được:

a² = c² + b² + 2b . (− c. cos A)

= b² + c² − 2bc. cos A.

Vậy a² = b² + c² − 2bc. cos A (đpcm).

Giải Toán 10 trang 39 Tập 1

Câu hỏi trang 39 Toán 10 Tập 1: Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt của định lí côsin hay không?

Lời giải:

Giả sử ta có tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c.

Theo định lí côsin ta có: a² = b² + c² – 2bc cosA.

Mà $\widehat{A}=90°$nên cosA = 0.

Do đó, a² = b² + c² – 2bc . 0 = b² + c².

Khi đó: a² = b² + c² hay bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương hai cạnh góc vuông. (nội dung của định lí Pythagore).

Vậy định lý Pythagore là một trường hợp đặc biệt của định lý côsin.

Khám phá trang 39 Toán 10 Tập 1: Từ định lý côsin, hãy viết các công thức tính cos A, cos B, cos C theo độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC.

Lời giải:

Theo định lí côsin, ta có:

a² = b² + c² − 2bc . cos A (1)

b² = a² + c² −2ac . cos B (2)

c² = b² + a² −2ab . cos C (3)

Ta có (1) $\iff$ 2bc . cos A = b² + c² − a² $\Rightarrow$ $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.

Tương tự từ (2) và (3) suy ra $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$; $\cos C=\frac{b^2+a^2-c^2}{2ba}$.

Vậy $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$; $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$; $\cos C=\frac{b^2+a^2-c^2}{2ba}$.

Luyện tập 1 trang 39 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, có AB = 5, AC = 8 và $\widehat{A}={45}^o$. Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.

Lời giải:

Theo định lí côsin, ta có:

a² = b² + c² − 2bc . cos A

b² = a² + c² −2ac . cos B (*)

(trong đó: AB = c, BC = a, AC = b)

Khi đó, BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cos A

= 5² + 8² – 2.5.8.cos45^o

= $89-40\sqrt{2}$

$\Rightarrow$BC ≈ 5,7 (cm).

Từ (*) suy ra $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.

Mà a = BC = 5,7; b = AC = 8; c = AB = 5.

Suy ra $\cos B=\frac{5,7^2+5^2-8^2}{2.5,7.5}=-\frac{217}{1900}\approx -0,11$

$\Rightarrow \widehat{B}\approx {97}^o$.

Ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o$

Suy ra $\widehat{C}={180}^o-\widehat{A}-\widehat{B}$

Do đó $\widehat{C}\approx {180}^o-{45}^o-{97}^o={38}^o$.

Vậy BC ≈ 5,7 cm; $\widehat{B}\approx {97}^o$; $\widehat{C}\approx {38}^o$.

Trải nghiệm trang 39 Toán 10 Tập 1: Vẽ một tam giác ABC, sau đó đo độ dài các cạnh, số đo góc A và kiểm tra tính đúng đắn của định lí côsin tại đỉnh A đối với tam giác đó.

Lời giải:

Tiến hành đo các cạnh của tam giác và góc A, ta được:

AB = 5 cm, AC = 8 cm, BC = 6,5 cm và $\widehat{A}={63}^o$.

Khi đó, ta có:

$\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{5^2+8^2-6,5^2}{2.8.6,5}\approx 0,45$.

cosA = cos 63^o ≈ 0,45.

Do đó $\text{cos\hspace{0.17em}}A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}$.

Vì vậy định lí côsin là đúng.

Vận dụng 1 trang 39 Toán 10 Tập 1: Dùng định lí côsin, tính khoảng cách được đề cập trong HĐ 1b.

Lời giải:

Tàu xuất phát từ cảng Vân Phong, đi theo thướng Đông với vận tốc 20km/h.

Sau khi đi 1 giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tốc.

Giả sử sau 1,5 giờ tàu ở vị trí điểm B.

Ta đã có: quãng đường OA = 20 (km) và quãng đường AB = 10 (km).

Mà $\widehat{OAB}=135°$(do tàu đi theo hướng đông nam).

Áp dụng định lí côsin tại đỉnh A, ta được:

OB² = OA² + AB² – 2 . OA . AB . $\cos \widehat{OAB}$

$\Rightarrow$ OB² =20² + 10² – 2 . 20 . 10 . cos135^o

$\Rightarrow$ OB² ≈ 782,84

$\Rightarrow$ OB ≈ 27,98.

Vậy khoảng cách từ tàu tới cảng Vân Phong xấp xỉ 27,98 km.

2. Định lý Sin

HĐ 3 trang 39 Toán 10 Tập 1: Trong mỗi hình dưới đây, hãy tính R theo a và sin A.

Lời giải:

Xét ΔBCM vuông tại C, ta có:

$\sin M=\frac{{\displaystyle BC}}{{\displaystyle BM}}=\frac{{\displaystyle a}}{{\displaystyle 2R}}\Rightarrow R=\frac{a}{2\sin M}$

Hình 3.10a):

Ta có $\widehat{M}=\widehat{A}$(hai góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{BC}$)

sin A = sin M

$\Rightarrow R=\frac{a}{2\sin A}$.

Hình 3.10b):

Ta có: $\widehat{A}+\widehat{M}={180}^o$ (vì tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn (O; R)).

sin A = sin M

$\Rightarrow R=\frac{a}{2\sin A}.$

Vậy ở cả hai hình ta đều có $R=\frac{a}{2\sin A}.$

Giải Toán 10 trang 40 Tập 1

Luyện tập 2 trang 40 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có b = 8, c = 5 và $\widehat{B}={80}^o.$Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài cạnh còn lại của tam giác.

Lời giải:

Áp dụng định lý sin cho ΔABC, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

$\sin C=\frac{c.\sin B}{b}=\frac{5.\sin {80}^o}{8}\approx 0,6155$

$\iff \widehat{C}\approx {38}^o$.

Lại có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o$

$\iff \widehat{A}={180}^o-\widehat{B}-\widehat{C}$

$\iff \widehat{A}\approx 180°-80°-38°=62°$.

Theo định lí sin, ta suy ra:

$a=\sin A.\frac{b}{\sin B}=\sin {62}^o.\frac{8}{\sin {80}^o}\approx 7,17$

Và $2R=\frac{b}{\sin B}\Rightarrow R=\frac{b}{2\sin B}=\frac{8}{2\sin {80}^o}\approx 4,062$.

Vậy a ≈ 7,17; R ≈ 4,062; $\widehat{A}\approx 62°;\widehat{C}\approx 38°$.

3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Luyện tập 3 trang 40 Toán 10 Tập 1: Giải tam giác ABC, biết b = 32, c = 45;$\widehat{A}={87}^o$.

Lời giải:

Áp dụng định lý cosin tại đỉnh A, ta có:

a² = b² + c² − 2bc . cosA

$\Rightarrow$ BC² = AB² + AC² – 2 . AB . AC . cosA

$\Rightarrow$ BC² = 32² + 45² – 2 . 32 . 45 . cos 87^o

$\Rightarrow$ BC² ≈ 2898,27

$\Rightarrow$ BC ≈ 53,84.

Theo định lí sin, ta có: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$

$\Rightarrow \sin B=\frac{b.\sin A}{a}=\frac{32.\sin {87}^o}{53,8}\approx 0,594$

$\Rightarrow \widehat{B}\approx 36,{44}^o$ hoặc $\widehat{B}\approx 143,{56}^o$(loại vì $\widehat{A}+\widehat{B}\approx 230,{56}^o>{180}^o$).

Ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o$

$\Rightarrow \widehat{C}={180}^o-\widehat{A}-\widehat{B}$

$\Rightarrow \widehat{C}\approx {180}^o-{87}^o-36,{44}^o=56,{56}^o$.

Vậy BC = 53,84; $\widehat{B}=36,{44}^o;\widehat{C}=56,{56}^o$.

Vận dụng 2 trang 40 Toán 10 Tập 1: Từ một khu vực có thể quan sát hai đỉnh núi, ta có thể ngắm và đo để xác định khoảng cách giữa hai đỉnh núi đó. Hãy thảo luận để đưa ra các bước cho một cách đo.

Lời giải:

Bước 1: Tại khu vực quan sát, đặt một cọc tiêu cố định tại vị trí A. Kí hiệu hai đỉnh núi lần lượt là điểm B và điểm C.

Đứng tại A, ngắm điểm B và điểm C để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó.

Bước 2: Đo khoảng cách từ vị trí ngắm đến từng đỉnh núi, tức là tính AB, AC.

* Tính AB bằng cách:

+ Đứng tại A, ngắm đỉnh núi B để xác định góc ngắm so với mặt đất, kí hiệu là góc α.

+ Theo hướng ngắm, đặt tiếp cọc tiêu tại D gần đỉnh núi hơn và đo đoạn AD. Xác định góc ngắm tại điểm D, kí hiệu là góc β.

Ta có hình vẽ:

Ta có: $\widehat{ADB}={180}^o-\beta$; $\widehat{DBA}=\beta -\alpha$.

Áp dụng định lí sin vào ∆ABD, ta được: $\frac{AB}{\sin \widehat{ADB}}=\frac{DA}{\sin \widehat{DBA}}$

$\Rightarrow AB=\sin \widehat{ADB}.\frac{DA}{\sin \widehat{DBA}}$

$\Rightarrow AB=\sin (180°-\beta ).\frac{DA}{\sin (\beta -\alpha )}$.

* Tương tự ngắm và đo để xác định AC.

Ta có: $\widehat{AEC}={180}^o-\delta$; $\widehat{ACE}=\delta -\gamma$.

Áp dụng định lí sin vào ∆ACE, ta được: $\frac{AC}{\sin \widehat{AEC}}=\frac{AE}{\sin \widehat{ACE}}$

$\Rightarrow AC=\sin \widehat{AEC}.\frac{AE}{\sin \widehat{ACE}}$

$\Rightarrow AC=\sin ({180}^o-\delta ).\frac{AE}{\sin (\delta -\gamma )}$.

Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai đỉnh núi, bằng cách áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC để tính độ dài cạnh BC.

Ta có: BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cosBAC.

Với AB, AC, góc BAC đã biết ở các bước trên, thay vào ta tính được BC chính là khoảng cách giữa hai đỉnh núi.

4. Công thức tính diện tích tam giác

Giải Toán 10 trang 41 Tập 1

HĐ 4 trang 41 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

a) Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác IBC, ICA, IAB.

b) Tính diện tích tam giác ABC theo r, a, b, c.

Lời giải:

a) Diện tích tam giác ABC bằng tổng diện tích tam giác IAB, IAC, IBC.

Do đó S_ABC = S_IBC + S_ICA + S_IAB.

b) Gọi D,E, F lần lượt là hình chiếu của I trên AB, BC, AC.

Ta có:

Vậydiện tích tam giác ABC tính theo r, a, b, c là: $S_{ABC}=\frac{1}{2}r.(a+b+c)$.

HĐ 5 trang 41 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với đường cao BD.

a) Biểu thị BD theo AB và sin A.

b) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, sin A.

Lời giải:

a)Xét ∆ABD vuông tại D, ta có:

TH1: Góc A là góc nhọn.

Ta có: $\sin A=\frac{BD}{AB}\Rightarrow BD=AB.\sin A$.

TH2: Góc A là góc tù.

$\sin A=\sin ({180}^o-A)=\frac{BD}{AB}$

$\Rightarrow$BD =AB. sinA.

Vậy trong cả hai trường hợp ta đều có BD =AB. sinA.

b) TH1. Đường cao BD nằm trong tam giác ABC.

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}AC.AB.\sin A=\frac{1}{2}.b.c\sin A.$

TH2. Đường cao BD nằm ngoài tam giác ABC.

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}AC.AB.\sin A=\frac{1}{2}.b.c\sin A.$

Vậy diện tích S của tam giác ABC theo b, c, sin A là $S_{ABC}=\frac{1}{2}.b.c\sin A.$

Luyện tập 4trang 41 Toán 10 Tập 1: Tính diện tích tam giác ABC có b = 2, $\widehat{B}={30}^0,\widehat{C}={45}^0$.

Lời giải:

Áp dụng định lí sin cho ΔABC, ta có: $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

$\Rightarrow c=\sin C.\frac{b}{\sin B}=\sin {45}^o.\frac{2}{\sin {30}^o}=2\sqrt{2}$.

Ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o$

$\Rightarrow$ $\widehat{A}={180}^0-\widehat{B}-\widehat{C}={180}^o-{30}^o-{45}^o={105}^o$.

Diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}b.c.\sin A=\frac{1}{2}.2.2\sqrt{2}.\sin {105}^o$

$=2\sqrt{2}.\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=1+\sqrt{3}$ (đvdt)

Vậy diện tích tam giác ABC là $1+\sqrt{3}$đvdt.

Thảo luận trang 41 Toán 10 Tập 1: Ta đã biết tính cosA theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sin A và diện tích S có tính được theo độ dài cạnh của tam giác ABC hay không?

Lời giải:

Từ định lí cosin trong tam giác ABC, ta suy ra:

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.

Mà cos²A + sin²A = 1

$\iff$ sin²A = 1 – cos²A

$\Rightarrow$ $\sin A=\pm \sqrt{1-{\cos }^{2}A}$

Do $0^o<\widehat{A}<{180}^o$nên sin A > 0 hay $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}$

Ta có: $\sin A=\sqrt{1-{\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{{(b^2+c^2-a^2)}^2}{4b^2{c}^2}}$

$=\sqrt{\frac{4b^2{c}^2-{(b^2+c^2-a^2)}^2}{4b^2{c}^2}}=\frac{\sqrt{4b^2{c}^2-{(b^2+c^2-a^2)}^2}}{2bc}$

Khi đó diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}bc.\sin A=\frac{1}{2}bc.\frac{\sqrt{4b^2{c}^2-{(b^2+c^2-a^2)}^2}}{2bc}$

$=\frac{1}{4}\sqrt{4b^2{c}^2-{(b^2+c^2-a^2)}^2}$

$=\frac{1}{4}\sqrt{\left(2bc-b^2-c^2+a^2\right)\left(2bc+b^2+c^2-a^2\right)}$

$=\frac{1}{4}\sqrt{\left.a^2-{\left(b-c\right)}^2\right]\left.{\left(b+c\right)}^2-a^2\right]}$

$=\frac{1}{4}\sqrt{\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)}$.

Vậy sin A và diện tích S có tính được theo độ dài cạnh của tam giác ABC.

Giải Toán 10 trang 42 Tập 1

Vận dụng 3 trang 42 Toán 10 Tập 1: Công viên Hòa Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác ABCDE như Hình 3.17. Dùng chế độ tính khoảng cách giữa hai điểm của Google Maps, một người xác định được các khoảng cách như trong hình vẽ. Theo số liệu đó, em hãy tính diện tích của công viên Hòa Bình.

Lời giải

Xét tam giác CDB, ta có: CD = 441 m, CB = 575 m và DB = 538 m.

Nửa chu vitam giác CDB là:

(441+575+538) : 2=777(m).

Do đó:

$S_{CDB}=\sqrt{777.(777-441).(777-575).(777-538)}$ ≈112267,7(m²).

Xét tam giác DBE, ta có: DE = 217 m, EB = 476 m và DB = 538 m.

Nửa chu vitam giác DBE là:

(217+476+538) : 2=615,5(m).

Do đó:

$S_{DBE}=\sqrt{615,5.(615,5-217).(615,5-476).(615,5-538)}$ ≈51495,13(m²)

Xét tam giác ABE, ta có: AE = 401 m, EB = 476 m và BA =256 m.

Nửa chu vi tam giác ABE là:

(401+476+256) : 2=566,5(m)

Do đó:

$S_{ABE}=\sqrt{566,5.(566,5-401).(566,5-476).(566,5-256)}$

≈51327,97(m²)

Diện tích ngũ giác ABCDE là:

S_ABCDE=S_CDB+S_DBE+S_ABE

≈112267,7+51495,13+51327,97=215090,8(m²).

Vậy diện tích của công viên Hòa Bình khoảng 215 090,79 m².

Bài tập

Bài 3.5 trang 42 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có a = 6, b = 5, c = 8. Tính cos A, S, r.

Lời giải:

Từ định lí cosin, ta suy ra:

$\text{cos}A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{5^2+8^2-6^2}{\mathrm{2.5.8}}=0,6625$.

Nửa chu vi tam giác ABC là:

$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{6+5+8}{2}=9,5$

Theo công thức Herong, ta có:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$=\sqrt{9,5.(9,5-6).(9,5-5).(9,5-8)}$ ≈ 14,98.

Ta có: S = pr

$\Rightarrow r=\frac{S}{p}\approx \frac{14,98}{9,5}\approx 1,577$.

Vậy cos A = 0,6625, S ≈ 14,98 đvdt, r ≈ 1,577.

Bài 3.6 trang 42 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có a = 10, $\widehat{A}={45}^o,\widehat{B}={70}^o$. Tính R, b, c.

Lời giải:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

$\Rightarrow R=\frac{a}{2\sin A};b=\frac{a.\sin B}{\sin A}$.

Mà a = 10, $\widehat{A}={45}^o;\widehat{B}={70}^o$$\Rightarrow R=\frac{10}{2\sin {45}^o}=5\sqrt{2}$; $b=\frac{10.\sin {70}^o}{\sin {45}^o}\approx 13,29$.

Ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o$

$\iff \widehat{C}={180}^o-\widehat{A}-\widehat{B}$

$\iff \widehat{C}={180}^o-{45}^o-{70}^o={65}^o$.

Từ định lí sin ta suy ra:

$c=\frac{a.\sin C}{\sin A}=\frac{10.\sin {65}^o}{\sin {45}^o}\approx 12,82$.

Vậy $R=5\sqrt{2}$, b ≈ 13,29, c ≈ 12,82.

Bài 3.7 trang 42 Toán 10 Tập 1: Giải tam giác ABC và tính diện tích tam giác đó, biết $\widehat{A}={15}^0,\widehat{B}={130}^0,c=6.$

Lời giải

Xét ΔABC, ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o$

$\iff \widehat{C}={180}^o-\widehat{A}-\widehat{B}$

$\Rightarrow$ $\widehat{C}={180}^o-{130}^o-{15}^o={35}^o$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

$\Rightarrow b=\frac{c.\sin B}{\sin C};a=\frac{c.\sin A}{\sin C}$.

Mà $\widehat{A}={15}^o;\widehat{B}={130}^o;\widehat{C}={35}^o;c=6$

$\Rightarrow b=\frac{6.\sin {130}^o}{\sin {35}^o}\approx 8;a=\frac{6.\sin {15}^o}{\sin {35}^o}\approx 2,7$.

Diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}bc.\sin A=\frac{1}{2}8.6.\sin {15}^o\approx 6,212$.

Vậy a ≈ 2,7; b ≈ 8; $\widehat{C}={35}^o$; S ≈ 6,212.

Bài 3.8 trang 42 Toán 10 Tập 1: Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng S70^oE với vận tốc 70km/h. Đi được 90 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam theo vận tốc 8km/h. Sau 2 giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.

a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

Lời giải:

Ta có sơ đồ đường đi như sau:

Trong đó: B là nơi động cơ bị hỏng, C là vị trí neo đậu của tàu trên hòn đảo.

Khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là đoạn AC (hay b).

Ban đầu tàu di chuyển theo hướng S70^oE nên $\widehat{BAS}$= 70^o.

Sau khi động cơ bị hỏng, tàu trôi theo hướng Nam nên BC // AS.

$\Rightarrow \widehat{ABC}={180}^o-\widehat{BAS}={110}^o$.

Quãng đường tàu đi được sau 90 phút hay 1,5 giờ (ngay trước khi hỏng động cơ) là:

70 . 1,5 = 105 (km) hay c = 105.

Quãng đường tàu trôi tự do là:

8 . 2 = 16 (km) hay a = 16.

a) Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

b² = a² + c² − 2ac . cosB

$\Rightarrow$ b² = 16² + 105² – 2 . 16 . 105 . cos 110^o ≈ 12 430,18

$\Rightarrow$ b ≈ 111,49.

Vậy khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là khoảng 111,49 km.

b) Theo sơ đồ, hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là Sα^oE với α = $\widehat{CAS}$.

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$\Rightarrow \sin A=\frac{a.\sin B}{b}$.

Mà $\widehat{B}={110}^o$; b ≈ 111,49; a = 16.

$\Rightarrow \sin A=\frac{16.\sin 110°}{111,49}\approx 0,135$

$\Rightarrow \widehat{A}\approx 8°$ (do $\widehat{A}<{90}^o$).

Þ α ≈ 70° – 8° = 62°.

Vậy hướng từ cảng A đến đảo nơi tàu neo đậu là là S62°E.

Giải Toán 10 trang 43 Tập 1

Bài 3.9 trang 43 Toán 10 Tập 1: Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5m. Từ một vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là 50^o và 40^o so với phương nằm ngang (H.3.18).

a) Tính các góc của tam giác ABC.

b) Tính chiều cao của tòa nhà.

Lời giải:

Ta có hình vẽ sau:

a) Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC.

Vậy các góc của tam giác ABC là $\widehat{BAC}={10}^o;\widehat{ABC}={40}^o;\widehat{ACB}={130}^o$.

b) Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC, ta được:

$\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}$

$\Rightarrow AB=\frac{BC.\sin C}{\sin \widehat{BAC}}$

Mà BC = 5 m, $\widehat{BAC}={10}^o;\widehat{ACB}={130}^o$.

$\Rightarrow AB=\frac{5.\sin {130}^o}{\sin {10}^o}\approx 22,06$(m).

Xét ΔABH có:

$BH=AB.\sin \widehat{BAH}\approx 22,06.\sin 50°\approx 16,9$(m).

Do đó chiều cao của tòa nhà là:

CK = BH – BC + HK ≈ 16,9 – 5 + 7 = 18,9 (m).

Vậy chiều cao của tòa nhà xấp xỉ bằng18,9 m.

Bài 3.10 trang 43 Toán 10 Tập 1: Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất cách xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được).

Lời giải:

- Giả sử từ một điểm A trên bãi biển Vũng Chùa ta nhìn thấy Đảo Yến với đỉnh bên trái là B và đỉnh bên phải là C nên chiều rộng của hòn đảo là đoạn BC.

- Lấy các điểm D và E bất kì trên bãi biển Vũng Chùa sao cho E, A, D thẳng hàng và ta đo được các khoảng cách AD và AE.

Ngắm và đo các góc $\widehat{BAC}$, $\widehat{BAE},\widehat{BEA},\widehat{CAD},\widehat{CDA}$.

Áp dụng định lí sin trong các tam giác ABE và ACD, ta tính được các khoảng cách AB và AC.

Sau đó, áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC với góc $\widehat{BAC}$, các cạnh AB, AC đã biết, tính được khoảng cách BC (bề rộng của Đảo Yến mà ta nhìn thấy).

Bài 3.11 trang 43 Toán 10 Tập 1: Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ A tới D. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ.

Lời giải:

Ta có hình vẽ sau:

Bước 1: Áp dụng định lí côsin trong ΔABC, ta có:

AC² = AB² + BC² – 2AB. BC . cosB

= 8² + 6² – 2 . 8 . 6 . cos105^o ≈ 124,85

AC ≈ 11,2 km.

Bước 2: Áp dụng định lí sin trong ΔABC, ta có:

Bước 3:

Áp dụng định lí côsin trong ΔACD, ta có:

AD² = AC² + DC² – 2AC . DC . $\cos \widehat{ACD}$

= 11,2² + 12² – 2 . 12 . 11,2 . cos91,4^o

AD ≈ 16,6 (km).

Bước 4: Độ dài đường mới giảm so với đường cũ là:

12 + 6 + 8 − 16,6 = 9,4 (km).

Vậy độ dài đường mới sẽ giảm 9,4 kilômét so với đường cũ.

Lý thuyết Toán 10 Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác – Kết nối tri thức

1. Định lí Côsin

Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Định lí Côsin. Trong tam giác ABC:

a² = b² + c² – 2bc.cosA.

b² = c² + a² – 2ca.cosB.

c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có góc A bằng 60° và AB = 2 cm, AC = 3 cm. Tính độ dài cạnh BC.

Hướng dẫn giải

Áp dụng Định lí côsin cho tam giác ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB . AC . cos 60^o = 2² + 3² – 2.2.3. $\frac{1}{2}$ = 7.

Suy ra BC = $\sqrt{7}$ (cm)

Vậy BC = $\sqrt{7}$ cm.

2. Định lí sin

Trong tam giác ABC: $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{sinC}}=2\mathrm{R}$.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có $\widehat{\mathrm{A}}=120°$, $\widehat{\mathrm{B}}=30°$, c = 10. Tính số đo góc C và a, b, R.

Hướng dẫn giải

Theo Định lí tổng ba góc của tam giác, ta có: $\widehat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{B}}+\widehat{\mathrm{C}}=180°$.

Suy ra $\widehat{\mathrm{C}}=180°-(\widehat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{B}})=180°-(120°+30°)=30°$.

Áp dụng Định lí sin, ta có: $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{sinC}}=2\mathrm{R}$

$\iff \frac{\mathrm{a}}{\sin 120°}=\frac{\mathrm{b}}{\sin 30°}=\frac{10}{\sin 30°}=2\mathrm{R}$.

Suy ra:

$\mathrm{a}=\frac{10}{\sin 30°}\cdot \sin 120°=10\sqrt{3}$

$\mathrm{b}=\frac{10}{\sin 30°}\cdot \sin 30°=10$

$\mathrm{R}=\frac{10}{2\sin 30°}=10$.

Vậy a = $10\sqrt{3}$; b = 10; R = 10; $\widehat{\mathrm{C}}={30}^0$.

3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

- Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó được gọi là giải tam giác.

Chú ý: Áp dụng định lí côsin, sin và sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và các góc của một tam giác trong các trường hợp sau:

+ Biết hai cạnh và góc xen giữa.

+ Biết ba cạnh.

+ Biết một cạnh và hai góc kề.

Ví dụ: Giải tam giác ABC biết b = 12, $\widehat{\mathrm{C}}=60°$, $\widehat{\mathrm{A}}=100°$.

Hướng dẫn giải

Theo định lí tổng ba góc của tam giác, ta có: $\widehat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{B}}+\widehat{\mathrm{C}}=180°$.

Suy ra $\widehat{\mathrm{B}}=180°-(\widehat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{C}})=180°-(100°+60°)=20°$.

Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{sinC}}$

$\iff \frac{\mathrm{a}}{\sin 100°}=\frac{12}{\sin 20°}=\frac{\mathrm{c}}{\sin 60°}$

Suy ra:

$\mathrm{a}=\frac{12}{\sin 20°}\cdot \sin 100°\approx 34,6$

$\mathrm{c}=\frac{12}{\sin 20°}\cdot \sin 60°\approx 30,4$

Vậy tam giác ABC có: $\widehat{\mathrm{A}}=100°$, $\widehat{\mathrm{B}}=20°$, $\widehat{\mathrm{C}}=60°$; a ≈ 34,6 ; b = 12; c ≈ 30,4.

Ví dụ: Để đo khoảng cách giữa hai đầu C và A của một hồ nước người ta không thể đi trực tiếp từ C đến A, người ta tiến hành như sau: Chọn 1 điểm B sao cho đo được khoảng cách BC, BA và góc BCA. Sau khi đo, ta nhận được BC = 5m, BA = 12m, $\widehat{\mathrm{BCA}}={37}^{\mathrm{o}}$. Tính khoảng cách AC (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí sin đối với tam giác ABC ta có:

$\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{sinC}}$

⇒ $\frac{5}{\mathrm{sinA}}=\frac{12}{\sin {37}^0}$

⇒ sin A = $\frac{5.\sin {37}^{\mathrm{o}}}{12}\approx 0,2508$

⇒ $\widehat{\mathrm{A}}$ ≈ 14°31’

⇒ $\widehat{\mathrm{B}}$ ≈ 180° – (37° + 14°31’) = 128°29’.

Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{sinB}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{sinC}}$

⇒ AC = $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{sinC}}\cdot \mathrm{sinB}$ = $\frac{12}{\sin 37°}\cdot \sin 128°29\text{'}$ ≈15,61 (m)

Vậy khoảng cách AC ≈ 15,61 m.

4. Công thức tính diện tích tam giác

Đối với tam giác ABC: A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Ta có các công thức tính diện tích tam giác ABC sau:

+) S = pr = $\frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})\mathrm{r}}{2}$

+) S = $\frac{1}{2}$bc sin A = $\frac{1}{2}$ca sin B =$\frac{1}{2}$ab sin C.

+) S = $\frac{\mathrm{abc}}{4\mathrm{R}}$

+) Công thức Heron: S = $\sqrt{\mathrm{p}(\mathrm{p}-\mathrm{a})(\mathrm{p}-\mathrm{b})(\mathrm{p}-\mathrm{c})}$.

Ví dụ:

a) Tính diện tích tam giác ABC biết các cạnh b = 14 cm, c = 35 cm và $\widehat{\mathrm{A}}={60}^{\mathrm{o}}$.

b) Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC, biết các cạnh a = 4 cm, b = 5 cm, c = 3 cm.

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC, ta có:

S = $\frac{1}{2}$bc sin A = $\frac{1}{2}$.14.35.sin 60° = $\frac{1}{2}$.14.35.$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{245\sqrt{3}}{2}$(cm²).

Vậy diện tích tam giác ABC là: $\frac{245\sqrt{3}}{2}$ cm².

b) Ta có nửa chu vi của tam giác ABC là: $\mathrm{p}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2}=\frac{4+5+3}{2}=\frac{12}{2}=6$ (cm).

Áp dụng công thức Heron, ta có diện tích tam giác ABC là:

S = $\sqrt{\mathrm{p}(\mathrm{p}-\mathrm{a})(\mathrm{p}-\mathrm{b})(\mathrm{p}-\mathrm{c})}=\sqrt{6.(6-4).(6-5).(6-3)}=\sqrt{36}=6$(cm²).

Mặt khác: S = $\frac{\mathrm{abc}}{4\mathrm{R}}$ ⇒ R = $\frac{\mathrm{abc}}{4\mathrm{S}}$= $\frac{\mathrm{4.5.3}}{4.6}=\frac{5}{2}=2,5$(cm).

Ta có: S = pr ⇒ r = $\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{p}}$ = $\frac{6}{6}$ = 1 (cm).

Vậy diện tích tam giác ABC là 6 cm², bán kính đường tròn ngoại tiếp là 2,5 cm; bán kính đường tròn nội tiếp là 1 cm.