Giải Toán 10 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 3

Giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 3

A. Trắc nghiệm

Giải Toán 10 trang 44 Tập 1

Bài 3.12 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\widehat{B}={135}^o$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a)

A. $S=\frac{1}{2}ca.$

B. $S=\frac{-\sqrt{2}}{4}ac.$

C. $S=\frac{\sqrt{2}}{4}bc.$

D. $S=\frac{\sqrt{2}}{4}ca.$

b)

A. $R=\frac{a}{\sin A}.$

B. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}b.$

C. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}c.$

D. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}a.$

c)

A. $a^2=b^2+c^2+\sqrt{2}ab$.

B. $\frac{b}{\sin A}=\frac{a}{\sin B}.$

C. $\sin B=\frac{-\sqrt{2}}{2}.$

D. b² = c² + a² – 2ca.cos135^o.

Lời giải:

Tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c; $\widehat{B}={135}^o$.

a) Diện tích tam giác ABC:

$S=\frac{1}{2}ac.\sin B=\frac{1}{2}ac.\sin {135}^o=\frac{\sqrt{2}}{4}ac$.

Chọn D.

b) Theo định lí sin, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

A. $R=\frac{a}{\sin A}$sai vì $R=\frac{a}{2\sin A}$

B. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}b$

Mà $\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow R=\frac{b}{2\sin B}=\frac{b}{2.\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}b$.

Do đó B đúng.

C. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}c$(loại vì không có dữ kiện về góc C nên không thể tính R theo c).

D. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}a$(loại vì không có dữ kiện về góc A nên không thể tính R theo a).

Chọn B.

c)

A. $a^2=b^2+c^2+\sqrt{2}ab$.

Vì theo định lí côsin, ta có: a² = b² + c² − 2bc . cosA

Không đủ dữ kiện để suy ra: $a^2=b^2+c^2+\sqrt{2}ab$.

Do đó A sai.

B. $\frac{b}{\sin A}=\frac{a}{\sin B}$.

Theo định lí sin, ta có: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$

Nên $\frac{b}{\sin A}\ne \frac{a}{\sin B}$.

Do đó B sai.

C. $\sin B=\frac{-\sqrt{2}}{2}$.

Vì theo câu a, $\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Do đó C sai.

D. b² = c² + a² – 2ca . cos135^o. đúng.

Theo định lý côsin ta có:

b² = c² + a² − 2ca . cosB (*)

Mà $\widehat{B}=135°$$\Rightarrow$cosB = cos 135^o.

Thay vào (*) ta được: b² = c² + a² − 2ca . cos 135^o.

Do đó D đúng.

Chọn D.

Bài 3.13 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a)

A. $S=\frac{abc}{4r}.$

B. $r=\frac{2S}{a+b+c}.$

C. a² = b² + c² + 2bc . cos A.

D. S = r(a + b + c).

b)

A. sin A = sin(B + C).

B. cos A = cos(B + C).

C. cos A > 0.

D. sin A ≤ 0.

Lời giải:

a)

A. $S=\frac{abc}{4r}.$

Ta có $S=\frac{abc}{4R}$. Mà r < R nên $S=\frac{abc}{4R}<\frac{abc}{4r}$.

Do đó A sai.

B. $r=\frac{2S}{a+b+c}.$

Ta có: S = pr $\Rightarrow$ $r=\frac{S}{p}$.

Mà $p=\frac{a+b+c}{2}$

$\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{S}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{2S}{a+b+c}$.

Do đó B đúng.

C. a² = b² + c² + 2bc . cos A.

Sai vì theo định lí côsin ta có: a² = b² + c² − 2bc . cos A.

D. S = r(a + b + c).

Sai vì $S=pr=r.\frac{a+b+c}{2}$.

Chọn B.

b)

A. sinA = sin(B + C).

Ta có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o$

$\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}={180}^o-\widehat{A}$

$\Rightarrow$ sin(B + C) = sin(180° – $\widehat{A}$) = sin A.

Do đó, đáp án A đúng.

B. cos A = cos(B + C).

Sai vì cos (B + C) = cos(180° – $\widehat{A}$)= – cosA (do $\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o-\widehat{A}$).

C. cos A > 0.

∙ Nếu 0^o < $\widehat{A}$< 90^o thì cos A > 0.

∙ Nếu 90^o < $\widehat{A}$< 180^o thì cos A < 0.

Do đó C không đủ dữ kiện để kết luận.

D. sin A ≤ 0.

Ta có: $S=\frac{1}{2}bc.\sin A>0$

Mà b, c > 0 nên sin A > 0.

Do đó D sai.

Chọn D.

B. Tự luận

Bài 3.14 trang 44 Toán 10 Tập 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) M = sin45^o. cos45^o + sin30^o;

b) $\text{}N=\sin {60}^o.cos{30}^o+\frac{1}{2}\sin {45}^o.cos{45}^o$;

c) P = 1 + tan² 60^o;

d) $Q=\frac{1}{{\sin }^2{120}^o}-{\cot }^2{120}^o.$

Lời giải:

a) M = sin45^o. cos45^o + sin30^o

Ta có: sin 45^o = cos 45^o = $\frac{\sqrt{2}}{2}$; sin 30^o = $\frac{1}{2}$.

Thay vào M, ta được:

M $=\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.

b) $\text{}N=\sin {60}^o.cos{30}^o+\frac{1}{2}\sin {45}^o.cos{45}^o$

Ta có: $\sin {60}^o=\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\cos {30}^o=\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\sin 45°=cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Thay vào N, ta được:

N = $\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$.

c) P = 1 + tan²60^o

Ta có: $\tan {60}^o=\sqrt{3}$.

Thay vào P, ta được: P$=1+{\left(\sqrt{3}\right)}^2=1+3=4$.

d) $Q=\frac{1}{{\sin }^2{120}^o}-{\cot }^2{120}^o.$

Ta có: $\sin {120}^o=\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\cot {120}^o=\frac{-1}{\sqrt{3}}$

Thay vào Q, ta được:

Q $=\frac{1}{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}-{\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)}^2$

$=\frac{1}{\frac{3}{4}}-\frac{1}{3}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=1$

Bài 3.15 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\widehat{B}={60}^o,\widehat{C}={45}^o,$ AC = 10. Tính a, R, S, r.

Lời giải:

Theo định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

Ta có:

+ $R=\frac{b}{2\sin B}$.

Mà b = AC = 10, $\widehat{B}={60}^o$.

Nên $R=\frac{10}{2\sin {60}^o}=\frac{10}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$=\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$.

+ $R=\frac{a}{2\sin A}$$\Rightarrow$ a = 2R. sin A.

Mà $R=\frac{10\sqrt{3}}{3}$, $\widehat{A}={180}^o-\widehat{B}-\widehat{C}$= 180^o – 60^o – 45^o = 75^o.

Nên a = 2.$\frac{10\sqrt{3}}{3}$. sin 75^o ≈ 11,15.

Diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}ab.\sin C=\frac{1}{2}.11,15.10.\sin {45}^o\approx 39,42$ (đvdt)

Khi đó:

+ $R=\frac{c}{2\sin C}$$\Rightarrow c=\frac{10\sqrt{3}}{3}.2.\sin {45}^o=\frac{10\sqrt{6}}{3}\approx 8,16$.

+ $p=\frac{a+b+c}{2}\approx \frac{5,58+10+8,165}{2}\approx 14,66$.

+ $r=\frac{S}{p}\approx \frac{48,3}{14,66}\approx 2,69$.

Vậy a ≈ 11,15; $R=\frac{10\sqrt{3}}{3}$, c ≈ 8,16, r ≈ 2,69.

Bài 3.16 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:

a) $cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC}=0;$

b) MA² + MB² – AB² = 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$và MA² + MC² – AC² = 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$;

c) $M{A}^2=\frac{2\left(A{B}^2+A{C}^2\right)-B{C}^2}{4}$(công thức đường trung tuyến).

Lời giải:

a) Ta có: $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}={180}^o$

$\Rightarrow$ $\widehat{AMC}={180}^o-\widehat{AMB}$

$\Rightarrow$ $cos\widehat{AMB}=-cos\left({180}^o-\widehat{AMB}\right)=-cos\widehat{AMC}$

$\Rightarrow$ $cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC}=-cos\widehat{AMC}+cos\widehat{AMC}=0$

Vậy $cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC}=0$(đpcm)

b) Áp dụng định lí côsin trong ΔAMB, ta có:

AB² = MA² + MB² – 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$

$\iff$ MA² + MB² – AB² = 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$(1)

Áp dụng định lí côsin trong ΔAMC, ta có:

AC² = MA² + MC² – 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$

$\iff$ MA² + MC² – AC² = 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

c) Từ (1) suy ra: MA² = AB² – MB² + 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$

Từ (2) suy ra: MA² = AC² – MC²+ 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$

Cộng vế với vế, ta được:

2MA² =(AB² – MB² + 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$) + (AC² – MC²+ 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$)

$\iff$2MA² = AB²+ AC²– MB²– MC²+ 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$+ 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$

Mà $MB=MC=\frac{BC}{2}$(do AM là trung tuyến) nên:

2MA² = AB²+ AC²– ${\left(\frac{BC}{2}\right)}^2$– ${\left(\frac{BC}{2}\right)}^2$+ 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$+ 2MA.MB.cos$\widehat{AMC}$

$\iff$2MA² = AB²+ AC²– $2.{\left(\frac{BC}{2}\right)}^2$+ 2MA.MB.(cos$\widehat{AMB}$+ cos$\widehat{AMC}$)

$\iff$2MA² = AB²+ AC²– $\frac{B{C}^2}{2}$

$\iff$ $M{A}^2=\frac{A{B}^2+A{C}^2-\frac{B{C}^2}{2}}{2}$

$\iff M{A}^2=\frac{2\left(A{B}^2+A{C}^2\right)-B{C}^2}{4}$(công thức đường trung tuyến).

Bài 3.17 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) Nếu góc A nhọn thì b² + c² > a²;

b) Nếu góc A tù thì b² + c² < a²;

c) Nếu góc A vuông thì b² + c² = a².

Lời giải:

Theo định lí côsin, ta có: a² = b² + c² – 2bc.cosA

$\Rightarrow$b² + c² – a² =2bc.cosA.

a) Nếu góc A nhọn thì cosA > 0 $\Rightarrow$ 2bccosA > 0

Do đó: b² + c² – a² =2bc.cosA> 0.

Vậy b² + c² > a² (đpcm).

b) Nếu góc A tù thì cosA < 0 $\Rightarrow$ 2bccosA < 0

Do đó: b² + c² – a² =2bc.cosA < 0.

Vậy b² + c² < a² (đpcm).

c) Nếu góc A vuông thì cosA = 0 $\Rightarrow$2bccosA = 0

Do đó: b² + c² – a² =2bc.cosA = 0.

Vậy b² + c² = a² (đpcm).

Giải Toán 10 trang 45 Tập 1

Bài 3.18 trang 45 Toán 10 Tập 1: Trên biển, tàu B ở vị trí cách tàu A 53 km về hướng N34^oE. Sau đó, tàu B chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 30km/h về hướng đông và tàu A chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 50km/h để gặp tàu B.

a) Hỏi tàu A cần phải chuyển động theo hướng nào?

b) Với hướng chuyển động đó thì sau bao lâu tàu A gặp tàu B?

Lời giải:

a) Gọi t (giờ) là thời gian đi cho đến khi hai tàu gặp nhau tại C.

Tàu B đi với vận tốc có độ lớn 30km/h nên quãng đường BC = 30t.

Tàu A đi với vận tốc có độ lớn 50km/h nên quãng đường AC = 50t.

Theo định lí sin, ta có: $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \widehat{ABC}}$.

Trong đó: a = BC = 30t, b = AC = 50t, $\widehat{B}={124}^o$, $\alpha =\widehat{BAC}$.

Khi đó, $\frac{30t}{\sin \alpha }=\frac{50t}{\sin {124}^o}$

$\iff \sin \alpha =\frac{30t.\sin {124}^o}{50t}=\frac{3\sin {124}^o}{5}\approx 0,497$

$\iff$α ≈ 30^o hoặc α ≈ 150^o (loại).

Do đó AC hợp với hướng bắc một góc 34^o + 30^o= 64^o.Vậy tàu A chuyển động theo hướng N64^oE.b) Xét tam giác ABC, ta có: $\widehat{A}={30}^o;\widehat{ABC}={124}^o$.

$\Rightarrow \widehat{C}={180}^o-(\widehat{A}+\widehat{B})={180}^o-({30}^o+{124}^o)={26}^o$.

Theo định lí sin, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$$\Rightarrow a=\frac{c.\sin A}{\sin C}$

Mà a = BC = 30t, c = AB = 53, $\widehat{A}=30°;\widehat{C}=26°$.

Khi đó, $30t=\frac{53.\sin {30}^o}{\sin {26}^o}$

$\iff$ 30t ≈ 60

$\iff$t ≈ 2 (h)

Vậy sau 2 giờ thì tàu A gặp tàu B.

Bài 3.19 trang 45 Toán 10 Tập 1:Trên sân bóng chày dành cho nam, các vị trí gôn Nhà (Home plate), gôn 1 (First base), gôn 2(Second base), gôn 3 (Third base) là bốn đỉnh của một hình vuông có cạnh dài 27,4m. Vị trí đứng ném bóng (Pitcher’s mound) nằm trên đường nối gôn Nhà với gôn 2 và cách gôn Nhà 18,44m. Tính các khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới các gôn 1 và gôn 3.

Lời giải:

Kí hiệu gôn Nhà, gôn 1, gôn 2, gôn 3 và vị trí ném bóng lần lượt là các điểm A, B, C, D, O như hình vẽ.

Khi đó, tứ giác ABCD là hình vuông với đường chéo CA là tia phân giác của góc BCD. Hay $\widehat{OCD}=\widehat{ACD}=45°$.

Ta có: CD = 27,4 $\Rightarrow$AC = CD . $\sqrt{2}$= 27,4 . $\sqrt{2}$≈ 38,75.

$\Rightarrow$ OC = AC – OA ≈ 38,75 − 18,44 = 20,31.

Xét tam giác OCD, áp dụng định lí côsin ta có:

OD² = CD² + CO² – 2.CD.CO. cos$\widehat{ACD}$.

Trong đó CD = 27,4; CO = 20,31; $\widehat{ACD}=45°$

Khi đó: OD² = 27,4² + 20,31² – 2.27.20,31. cos 45^o

$\iff$OD² ≈ 376,255

$\iff$OD ≈ 19,4 (m)

Xét ΔCOB và ΔCOD, có:

BC = CD (ABCD là hình vuông)

$\widehat{BCO}=\widehat{DCO}=45°$(CA là tia phân giác của góc BCD)

Cạnh CO chung

Do đó ΔCOB = ΔCOD (c.g.c)

Suy ra OB = OD ≈ 19,4 (m) (hai cạnh tương ứng).

Vậy khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới các gôn 1 và gôn 3 khoảng 19,4 m.

Lý thuyết Tổng hợp lý thuyết cuối chương 3

1. Giá trị lượng giác của một góc

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị.

Cho trước một góc α, 0° ≤ α ≤ 180°. Khi đó, có duy nhất điểm M(x₀; y₀) trên nửa đường tròn đơn vị để $\widehat{\mathrm{xOM}}=\mathrm{\alpha }$.

- Định nghĩa tỉ số lượng giác của một góc từ 0⁰ đến 180⁰

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{\mathrm{xOM}}=\mathrm{\alpha }$. Khi đó:

+ sin của góc α là tung độ y₀ của điểm M, được kí hiệu là sin α;

+ côsin của góc α là hoành độ x₀của điểm M, được kí hiệu là cos α;

+ Khi α ≠ 90° (hay x₀ ≠ 0), tang của α là $\frac{{\mathrm{y}}_0}{{\mathrm{x}}_0}$, được kí hiệu là tan α;

+ Khi α ≠ 0° và α ≠ 180° (hay y₀ ≠ 0), côtang của α là $\frac{{\mathrm{x}}_0}{{\mathrm{y}}_0}$, được kí hiệu là cot α.

- Từ định nghĩa trên ta có:

$\mathrm{tan\alpha }=\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}(\mathrm{\alpha }\ne 90°);$$\mathrm{cot\alpha }=\frac{\mathrm{cos\alpha }}{\mathrm{sin\alpha }}(\mathrm{\alpha }\ne 0°\mathrm{và}\mathrm{\alpha }\ne 180°);$$\mathrm{tan\alpha }=\frac{1}{\mathrm{cot\alpha }}\text{ (}\mathrm{\alpha }\notin \text{{}0°;90°;180°\text{}})$

- Bảng giá trị lượng giác (GTLG) của một số góc đặc biệt:

Chú ý: Kí hiệu || chỉ giá trị lượng giác tương ứng không xác định.

Ví dụ: Tìm các giá trị lượng giác của góc 120°.

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{\mathrm{xOM}}={120}^0$. Gọi N, K tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Do $\widehat{\mathrm{xOM}}={120}^0$ và $\widehat{\mathrm{xOK}}={90}^0$nên $\widehat{\mathrm{KOM}}={30}^0$và $\widehat{\mathrm{MON}}={60}^0$.

Từ bảng GTLG của một số góc đặc biệt:

Ta có: cos 60⁰ = $\frac{1}{2}$ và cos 30⁰ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Các tam giác MOK và MON là các tam giác vuông với cạnh huyền bằng 1

Suy ra ON = cos$\widehat{\mathrm{MON}}$.OM = cos60⁰.1 = $\frac{1}{2}$ và OK = cos$\widehat{\mathrm{MOK}}$.OM = cos30⁰.1 = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Mặt khác, do điểm M nằm bên trái trục tung nên $\mathrm{M}\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Theo định nghĩa giá trị lượng giác ta có:

sin 120⁰ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

cos 120⁰ = $-\frac{1}{2}$

tan 120⁰ = $\frac{\sin {120}^0}{\cos {120}^0}=-\sqrt{3}$

cot 120⁰ = $\frac{\cos {120}^0}{\sin {120}^0}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Vậy sin 120⁰ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$; cos 120⁰ = $-\frac{1}{2}$; tan 120⁰ = $-\sqrt{3}$; cot 120⁰ = $-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

- Ta có thể dùng máy tính bỏ túi để tính giá trị gần đúng của các giá trị lượng giác của một góc.

Ví dụ:

- Ta cũng có thể tìm được góc khi biết một giá trị lượng giác của góc đó.

Ví dụ:

Chú ý:

+ Khi tìm x biết sin x, máy tính chỉ đưa ra giá trị x ≤ 90°.

+ Muốn tìm x khi biết cos x, tan x, ta cũng làm tương tự như trên, chỉ thay phím tương ứng bởi phím .

2. Mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Đối với hai góc bù nhau, α và 180° – α, ta có:

sin (180° – α) = sin α;

cos (180° – α) = - cos α;

tan (180° – α) = - tan α (α ≠ 90°);

cot (180° – α) = - cot α (0° < α < 180°).

Chú ý:

- Hai góc bù nhau có sin bằng nhau ; có côsin , tang, côtang đối nhau.

Ví dụ: Tính các giá trị lượng giác của góc 135°.

Hướng dẫn giải

Ta có 135° + 45° = 180°, vì vậy góc 135° và góc 45° là hai góc bù nhau:

Suy ra:

sin135° = sin45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

cos135° = - cos45° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

tan135° = - tan45° = -1

cot135° = - cot45° = -1.

Vậy sin135° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$; cos135° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$; tan35° = -1 ; cot135° = -1.

- Hai góc phụ nhau có sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Ví dụ:

Ta có 30° + 60° = 90° nên góc 30° và góc 60° là hai góc phụ nhau.

Khi đó:

sin30° = cos60° = $\frac{1}{2}$

tan30° = cot60° = $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

3. Định lí côsin

Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Định lí Côsin. Trong tam giác ABC:

a² = b² + c² – 2bc.cosA.

b² = c² + a² – 2ca.cosB.

c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có góc A bằng 60° và AB = 2 cm, AC = 3 cm. Tính độ dài cạnh BC.

Hướng dẫn giải

Áp dụng Định lí côsin cho tam giác ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB . AC . cos 60⁰ = 2² + 3² – 2.2.3. $\frac{1}{2}$ = 7.

Suy ra BC = $\sqrt{7}$ (cm)

Vậy BC = $\sqrt{7}$ cm.

4. Định lí sin

Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Định lí Côsin. Trong tam giác ABC:

a² = b² + c² – 2bc.cosA.

b² = c² + a² – 2ca.cosB.

c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có góc A bằng 60° và AB = 2 cm, AC = 3 cm. Tính độ dài cạnh BC.

Hướng dẫn giải

Áp dụng Định lí côsin cho tam giác ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB . AC . cos 60⁰ = 2² + 3² – 2.2.3. $\frac{1}{2}$ = 7.

Suy ra BC = $\sqrt{7}$ (cm)

Vậy BC = $\sqrt{7}$ cm.

5. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

- Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó được gọi là giải tam giác.

Chú ý: Áp dụng định lí côsin, sin và sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và góc của một tam giác trong các trường hợp sau:

+ Biết hai cạnh và góc xen giữa.

+ Biết ba cạnh.

+ Biết một cạnh và hai góc kề.

Ví dụ: Giải tam giác ABC biết b = 12, $\widehat{\mathrm{C}}=60°$, $\widehat{\mathrm{A}}=100°$.

Hướng dẫn giải

Theo định lí tổng ba góc của tam giác, ta có: $\widehat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{B}}+\widehat{\mathrm{C}}=180°$.

Suy ra $\widehat{\mathrm{B}}=180°-(\widehat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{C}})=180°-(100°+60°)=20°$.

Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{sinC}}$

$\iff \frac{\mathrm{a}}{\sin 100°}=\frac{12}{\sin 20°}=\frac{\mathrm{c}}{\sin 60°}$

Suy ra:

$\mathrm{a}=\frac{12}{\sin 20°}\cdot \sin 100°\approx 34,6$

$\mathrm{c}=\frac{12}{\sin 20°}\cdot \sin 60°\approx 30,4$

Vậy tam giác ABC có: $\widehat{\mathrm{A}}=100°$, $\widehat{\mathrm{B}}=20°$, $\widehat{\mathrm{C}}=60°$; a ≈ 34,6 ;b = 12; c ≈ 30,4.

Ví dụ: Để đo khoảng cách giữa hai đầu C và A của một hồ nước người ta không thể đi trực tiếp từ C đến A, người ta tiến hành như sau: Chọn 1 điểm B sao cho đo được khoảng cách BC, BA và góc BCA. Sau khi đo, ta nhận được BC = 5m, BA = 12m, $\widehat{\mathrm{BCA}}={37}^0$. Tính khoảng cách AC (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí sin đối với tam giác ABC ta có:

$\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{sinC}}$

⇒ $\frac{5}{\mathrm{sinA}}=\frac{12}{\sin {37}^0}$

⇒ sin A = $\frac{5.\sin {37}^0}{12}\approx 0,2508$

⇒ $\widehat{\mathrm{A}}$ ≈ 14°31’

⇒ $\widehat{\mathrm{B}}$ ≈ 180° – (37° + 14°31’) = 128°29’.

Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{sinB}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{sinC}}$

⇒ AC = $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{sinC}}\cdot \mathrm{sinB}$ = $\frac{12}{\sin 37°}\cdot \sin 128°29\text{'}$ ≈15,61 (m)

Vậy khoảng cách AC ≈ 15,61 m.

6. Công thức tính diện tích tam giác

Đối với tam giác ABC: A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Ta có các công thức tính diện tích tam giác ABC sau:

+) S = pr = $\frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})\mathrm{r}}{2}$

+) S = $\frac{1}{2}$bc sin A = $\frac{1}{2}$ca sin B =$\frac{1}{2}$ab sin C.

+) S = $\frac{\mathrm{abc}}{4\mathrm{R}}$

+) Công thức Heron: S = $\sqrt{\mathrm{p}(\mathrm{p}-\mathrm{a})(\mathrm{p}-\mathrm{b})(\mathrm{p}-\mathrm{c})}$.

Ví dụ:

a) Tính diện tích tam giác ABC biết các cạnh b = 14 cm, c = 35 cm và $\widehat{\mathrm{A}}={60}^0$.

b) Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC, biết các cạnh a = 4 cm, b = 5 cm, c = 3 cm.

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC, ta có:

S = $\frac{1}{2}$bc sin A = $\frac{1}{2}$.14.35.sin 60° = $\frac{1}{2}$.14.35.$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{245\sqrt{3}}{2}$(cm²).

Vậy diện tích tam giác ABC là: $\frac{245\sqrt{3}}{2}$ cm².

b) Ta có nửa chu vi của tam giác ABC là: $\mathrm{p}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2}=\frac{4+5+3}{2}=\frac{12}{2}=6$ (cm).

Áp dụng công thức Heron, ta có diện tích tam giác ABC là:

S =$\sqrt{\mathrm{p}(\mathrm{p}-\mathrm{a})(\mathrm{p}-\mathrm{b})(\mathrm{p}-\mathrm{c})}=\sqrt{6.(6-4).(6-5).(6-3)}=\sqrt{36}=6$(cm²).

Mặt khác: S = $\frac{\mathrm{abc}}{4\mathrm{R}}$ ⇒ R = $\frac{\mathrm{abc}}{4\mathrm{S}}$= $\frac{4.5.3}{4.6}=\frac{5}{2}=2,5$ (cm).

Ta có: S = pr ⇒ r = $\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{p}}$ = $\frac{6}{6}$ = 1 (cm).

Vậy diện tích tam giác ABC là 6 cm², bán kính đường tròn ngoại tiếp là 2,5 cm; bán kính đường tròn nội tiếp là 1 cm.