Giải Toán 10 trang 44 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán 10 trang 44 Tập 1

Bài 3.12 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\widehat{B}={135}^o$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a)

A. $S=\frac{1}{2}ca.$

B. $S=\frac{-\sqrt{2}}{4}ac.$

C. $S=\frac{\sqrt{2}}{4}bc.$

D. $S=\frac{\sqrt{2}}{4}ca.$

b)

A. $R=\frac{a}{\sin A}.$

B. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}b.$

C. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}c.$

D. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}a.$

c)

A. $a^2=b^2+c^2+\sqrt{2}ab$.

B. $\frac{b}{\sin A}=\frac{a}{\sin B}.$

C. $\sin B=\frac{-\sqrt{2}}{2}.$

D. b² = c² + a² – 2ca.cos135^o.

Lời giải:

Tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c; $\widehat{B}={135}^o$.

a) Diện tích tam giác ABC:

$S=\frac{1}{2}ac.\sin B=\frac{1}{2}ac.\sin {135}^o=\frac{\sqrt{2}}{4}ac$.

Chọn D.

b) Theo định lí sin, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

A. $R=\frac{a}{\sin A}$sai vì $R=\frac{a}{2\sin A}$

B. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}b$

Mà $\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow R=\frac{b}{2\sin B}=\frac{b}{2.\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}b$.

Do đó B đúng.

C. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}c$(loại vì không có dữ kiện về góc C nên không thể tính R theo c).

D. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}a$(loại vì không có dữ kiện về góc A nên không thể tính R theo a).

Chọn B.

c)

A. $a^2=b^2+c^2+\sqrt{2}ab$.

Vì theo định lí côsin, ta có: a² = b² + c² − 2bc . cosA

Không đủ dữ kiện để suy ra: $a^2=b^2+c^2+\sqrt{2}ab$.

Do đó A sai.

B. $\frac{b}{\sin A}=\frac{a}{\sin B}$.

Theo định lí sin, ta có: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$

Nên $\frac{b}{\sin A}\ne \frac{a}{\sin B}$.

Do đó B sai.

C. $\sin B=\frac{-\sqrt{2}}{2}$.

Vì theo câu a, $\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Do đó C sai.

D. b² = c² + a² – 2ca . cos135^o. đúng.

Theo định lý côsin ta có:

b² = c² + a² − 2ca . cosB (*)

Mà $\widehat{B}=135°$$\Rightarrow$cosB = cos 135^o.

Thay vào (*) ta được: b² = c² + a² − 2ca . cos 135^o.

Do đó D đúng.

Chọn D.

Bài 3.13 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a)

A. $S=\frac{abc}{4r}.$

B. $r=\frac{2S}{a+b+c}.$

C. a² = b² + c² + 2bc . cos A.

D. S = r(a + b + c).

b)

A. sin A = sin(B + C).

B. cos A = cos(B + C).

C. cos A > 0.

D. sin A ≤ 0.

Lời giải:

a)

A. $S=\frac{abc}{4r}.$

Ta có $S=\frac{abc}{4R}$. Mà r < R nên $S=\frac{abc}{4R}<\frac{abc}{4r}$.

Do đó A sai.

B. $r=\frac{2S}{a+b+c}.$

Ta có: S = pr $\Rightarrow$ $r=\frac{S}{p}$.

Mà $p=\frac{a+b+c}{2}$

$\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{S}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{2S}{a+b+c}$.

Do đó B đúng.

C. a² = b² + c² + 2bc . cos A.

Sai vì theo định lí côsin ta có: a² = b² + c² − 2bc . cos A.

D. S = r(a + b + c).

Sai vì $S=pr=r.\frac{a+b+c}{2}$.

Chọn B.

b)

A. sinA = sin(B + C).

Ta có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o$

$\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}={180}^o-\widehat{A}$

$\Rightarrow$ sin(B + C) = sin(180° – $\widehat{A}$) = sin A.

Do đó, đáp án A đúng.

B. cos A = cos(B + C).

Sai vì cos (B + C) = cos(180° – $\widehat{A}$)= – cosA (do $\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o-\widehat{A}$).

C. cos A > 0.

∙ Nếu 0^o < $\widehat{A}$< 90^o thì cos A > 0.

∙ Nếu 90^o < $\widehat{A}$< 180^o thì cos A < 0.

Do đó C không đủ dữ kiện để kết luận.

D. sin A ≤ 0.

Ta có: $S=\frac{1}{2}bc.\sin A>0$

Mà b, c > 0 nên sin A > 0.

Do đó D sai.

Chọn D.

B. Tự luận

Bài 3.14 trang 44 Toán 10 Tập 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) M = sin45^o. cos45^o + sin30^o;

b) $\text{}N=\sin {60}^o.cos{30}^o+\frac{1}{2}\sin {45}^o.cos{45}^o$;

c) P = 1 + tan² 60^o;

d) $Q=\frac{1}{{\sin }^2{120}^o}-{\cot }^2{120}^o.$

Lời giải:

a) M = sin45^o. cos45^o + sin30^o

Ta có: sin 45^o = cos 45^o = $\frac{\sqrt{2}}{2}$; sin 30^o = $\frac{1}{2}$.

Thay vào M, ta được:

M $=\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.

b) $\text{}N=\sin {60}^o.cos{30}^o+\frac{1}{2}\sin {45}^o.cos{45}^o$

Ta có: $\sin {60}^o=\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\cos {30}^o=\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\sin 45°=cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Thay vào N, ta được:

N = $\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$.

c) P = 1 + tan²60^o

Ta có: $\tan {60}^o=\sqrt{3}$.

Thay vào P, ta được: P$=1+{\left(\sqrt{3}\right)}^2=1+3=4$.

d) $Q=\frac{1}{{\sin }^2{120}^o}-{\cot }^2{120}^o.$

Ta có: $\sin {120}^o=\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\cot {120}^o=\frac{-1}{\sqrt{3}}$

Thay vào Q, ta được:

Q $=\frac{1}{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}-{\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)}^2$

$=\frac{1}{\frac{3}{4}}-\frac{1}{3}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=1$

Bài 3.15 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có  $\widehat{B}={60}^o,\widehat{C}={45}^o,$ AC = 10. Tính a, R, S, r.

Lời giải:

Theo định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

Ta có:

+ $R=\frac{b}{2\sin B}$.

Mà b = AC = 10, $\widehat{B}={60}^o$.

Nên $R=\frac{10}{2\sin {60}^o}=\frac{10}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$=\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$.

+ $R=\frac{a}{2\sin A}$$\Rightarrow$ a = 2R. sin A.

Mà $R=\frac{10\sqrt{3}}{3}$,  $\widehat{A}={180}^o-\widehat{B}-\widehat{C}$= 180^o – 60^o – 45^o = 75^o.

Nên a = 2.$\frac{10\sqrt{3}}{3}$. sin 75^o ≈ 11,15.

Diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}ab.\sin C=\frac{1}{2}.11,15.10.\sin {45}^o\approx 39,42$ (đvdt)

Khi đó:

+ $R=\frac{c}{2\sin C}$$\Rightarrow c=\frac{10\sqrt{3}}{3}.2.\sin {45}^o=\frac{10\sqrt{6}}{3}\approx 8,16$.

+ $p=\frac{a+b+c}{2}\approx \frac{5,58+10+8,165}{2}\approx 14,66$.

+ $r=\frac{S}{p}\approx \frac{48,3}{14,66}\approx 2,69$.

Vậy a ≈ 11,15; $R=\frac{10\sqrt{3}}{3}$, c ≈ 8,16, r ≈ 2,69.

Bài 3.16 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:

a) $cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC}=0;$

b) MA² + MB² – AB² = 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$và MA² + MC² – AC² = 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$;

c) $M{A}^2=\frac{2\left(A{B}^2+A{C}^2\right)-B{C}^2}{4}$(công thức đường trung tuyến).

Lời giải:

a) Ta có: $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}={180}^o$

Þ $\widehat{AMC}={180}^o-\widehat{AMB}$

Þ $cos\widehat{AMB}=-cos\left({180}^o-\widehat{AMB}\right)=-cos\widehat{AMC}$

Þ $cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC}=-cos\widehat{AMC}+cos\widehat{AMC}=0$

Vậy $cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC}=0$(đpcm)

b) Áp dụng định lí côsin trong ΔAMB, ta có:

AB² = MA² + MB² – 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$

$\iff$ MA² + MB² – AB² = 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$(1)

Áp dụng định lí côsin trong ΔAMC, ta có:

AC² = MA² + MC² – 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$

$\iff$ MA² + MC² – AC² = 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

c) Từ (1) suy ra: MA² = AB² – MB² + 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$

Từ (2) suy ra: MA² = AC² – MC²+ 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$

Cộng vế với vế, ta được:

2MA² =(AB² – MB² + 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$) + (AC² – MC²+ 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$)

$\iff$2MA² = AB²+ AC²– MB²– MC²+ 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$+ 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$

Mà $MB=MC=\frac{BC}{2}$(do AM là trung tuyến) nên:

2MA² = AB²+ AC²– ${\left(\frac{BC}{2}\right)}^2$– ${\left(\frac{BC}{2}\right)}^2$+ 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$+ 2MA.MB.cos$\widehat{AMC}$

$\iff$2MA² = AB²+ AC²– $2.{\left(\frac{BC}{2}\right)}^2$+ 2MA.MB.(cos$\widehat{AMB}$+ cos$\widehat{AMC}$)

$\iff$2MA² = AB²+ AC²– $\frac{B{C}^2}{2}$

$\iff$ $M{A}^2=\frac{A{B}^2+A{C}^2-\frac{B{C}^2}{2}}{2}$

$\iff M{A}^2=\frac{2\left(A{B}^2+A{C}^2\right)-B{C}^2}{4}$(công thức đường trung tuyến).

Bài 3.17 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) Nếu góc A nhọn thì b² + c² > a²;

b) Nếu góc A tù thì b² + c² < a²;

c) Nếu góc A vuông thì b² + c² = a².

Lời giải:

Theo định lí côsin, ta có: a² = b² + c² – 2bc.cosA

$\Rightarrow$b² + c² – a² =2bc.cosA.

a) Nếu góc A nhọn thì cosA > 0 $\Rightarrow$ 2bccosA > 0

Do đó: b² + c² – a² =2bc.cosA> 0.

Vậy b² + c² > a² (đpcm).

b) Nếu góc A tù thì cosA < 0 $\Rightarrow$ 2bccosA < 0

Do đó: b² + c² – a² =2bc.cosA < 0.

Vậy b² + c² < a² (đpcm).

c) Nếu góc A vuông thì cosA = 0 $\Rightarrow$2bccosA = 0

Do đó: b² + c² – a² =2bc.cosA = 0.

Vậy b² + c² = a² (đpcm).