Anonymous

Giải Toán 10 Bài 11 (Kết nối tri thức): Tích vô hướng của hai vecto

- asked 2 months agoVotes

0Answers

0Views

Giải bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto

1. Góc giữa hai vecto

HĐ 1 trang 66 Toán 10 Tập 1: Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ . Hãy tìm số đo các góc giữa $\vec{B C}$ và $\vec{B D}$ , $\vec{D A}$ và $\vec{D B}$ .

Lời giải

Số đo góc giữa hai vectơ $\vec{B C}$ và $\vec{B D}$ là góc CBD bằng 30°.

Xét tam giác BCD có $\hat{B C A}$ là góc ngoài của tam giác tại đỉnh C nên:

$\hat{B C A} = \hat{C B D} + \hat{C D B} \Rightarrow \hat{C D B} = \hat{B C A} - \hat{C B D} = 80 ° - 30 ° = 50 °$

$\Rightarrow \hat{A D B} = 50 °$

Suy ra số đo góc giữa hai vectơ $\vec{D A}$ và $\vec{D B}$ là góc ADB bằng 50°.

Vậy số đo góc giữa hai vectơ $\vec{B C}$ và $\vec{B D}$ bằng 30° và số đo góc giữa hai vectơ $\vec{D A}$ và $\vec{D B}$ bằng 50°.

Câu hỏi trang 66 Toán 10 Tập 1: Khi nào thì góc giữa hai vectơ bằng 0^°, bằng 180^°.

Lời giải

Góc giữa hai vectơ bằng 0° khi hai vectơ cùng hướng.

Góc giữa hai vectơ bằng 180° khi hai vectơ ngược hướng.

Luyện tập 1 trang 66 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC. Tính $(\vec{A B}, \vec{B C}) .$

Lời giải

Cho tam giác đều ABC. Tính ( vecto AB, vecto BC) (ảnh 1)

Câu hỏi trang 67 Toán 10 Tập 1: Khi nào tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không $\vec{u}, \vec{v}$ là một số dương? Là một số âm?

Lời giải

Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}, \vec{v} \neq \vec{0}$ được tính bởi công thức sau:

$\vec{u} . \vec{v} = \vec{u}| . \vec{v}| . c os (\vec{u}, \vec{v}) .$

Vì $\vec{u}| > 0, \vec{v}| > 0$ nên dấu của tích vô hướng $\vec{u} . \vec{v}$ phụ thuộc vào dấu của $c os (\vec{u}, \vec{v})$ .

+) Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u} . \vec{v}$ là một số dương thì $c os (\vec{u}, \vec{v}) > 0$

Khi đó góc giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ là góc nhọn hoặc bằng 0°.

+) Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ là một số âm thì $c os (\vec{u}, \vec{v}) < 0.$

Khi đó góc giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ là góc tù hoặc bằng 180°.

Vậy khi $0 ° \leq (\vec{u}, \vec{v}) < 90 °$ thì tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ là một số dương;

Khi $90 ° < (\vec{u}, \vec{v}) \leq 180 °$ thì tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ là một số âm.

Câu hỏi trang 67 Toán 10 Tập 1: Khi nào thì ${(\vec{u} . \vec{v})}^{2} = {\vec{u}}^{2} . {\vec{v}}^{2} ?$

Lời giải

Khi nào thì (vecto u. vecto v)^2 = vecto u ^2. vecto v^2 (ảnh 1)

2. Tích vô hướng của hai vecto

Luyện tập 2 trang 67 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính $\vec{A B} . \vec{A C}$ theo a, b, c.

Lời giải

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính vecto AB.AC theo a,b,c (ảnh 1)

Ta có: $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . c os (\vec{A B}, \vec{A C})$

$\Rightarrow \vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . \cos \hat{B A C}$

$\Rightarrow \vec{A B} . \vec{A C} = b c . c os \hat{B A C}$

Xét tam giác ABC, theo định lí côsin ta có: $c o s \hat{B A C} = \frac{A C^{2} + A B^{2} - B C^{2}}{2 A C . A B}$

$\Rightarrow cos \hat{BAC} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$

$\Rightarrow \vec{A B} . \vec{A C} = b c . \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2}$

Vậy $\vec{A B} . \vec{A C} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2} .$

3. Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng

HĐ 2 trang 68 Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (k x; k y) .$ Hãy kiểm tra công thức $\vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$ theo từng trường hợp sau:

a) $\vec{u} = \vec{0};$

b) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k \geq 0;$

c) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và k < 0.

Lời giải

Ta có: $\vec{u} = (x; y)$ $\Rightarrow \vec{u}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$\vec{v} = (k x; k y) \Rightarrow \vec{v}| = \sqrt{{(k x)}^{2} + {(k y)}^{2}} = \sqrt{k^{2} x^{2} + k^{2} y^{2}} = \sqrt{k^{2} (x^{2} + y^{2})} = k| \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

a) Vì vectơ $\vec{0}$ vuông góc với mọi vectơ nên vectơ $\vec{v}$ vuông góc với $\vec{u} = \vec{0}$

Do đó $\vec{u} ⊥ \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} . \vec{v} = 0$

Ta có: $\vec{u} = \vec{0} \Rightarrow \vec{u} = (0; 0) \Rightarrow \begin{array}{l} x = 0 \\ y = 0 \end{array}$

Do đó $k (x^{2} + y^{2}) = k (0^{2} + 0^{2}) = 0$

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2}) = 0$

Vậy với $\vec{u} = \vec{0}$ thì công thức $\vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$ đúng.

b) Vì k ≥ 0 nên vectơ $\vec{v} = (k x; k y)$ cùng hướng với vectơ $\vec{u} = (x; y)$

$\Rightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 0 °$

Do đó $\vec{u} . \vec{v} = \vec{u}| \vec{v}| c o s (\vec{u}, \vec{v})$

$= \sqrt{x^{2} + y^{2}} . k| \sqrt{x^{2} + y^{2}} . c os 0 ° = k . (x^{2} + y^{2}) .1 = k (x^{2} + y^{2})$

Vậy với $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k \geq 0$ thì công thức $\vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$ đúng.

c) Vì k < 0 nên vectơ $\vec{v} = (k x; k y)$ ngược hướng với vectơ $\vec{u} = (x; y)$

$\Rightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 180 °$

Do đó: $\vec{u} . \vec{v} = \vec{u}| \vec{v}| c o s (\vec{u}, \vec{v})$

$= \sqrt{x^{2} + y^{2}} . k| \sqrt{x^{2} + y^{2}} . c os18 0 ° = - k . (x^{2} + y^{2}) . (- 1) = k (x^{2} + y^{2})$

Vậy với $\vec{u} \neq \vec{0}$ và k < 0 thì công thức $\vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$ đúng.

HĐ 3 trang 68 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x'; y')$ .

a) Xác định tọa độ các điểm A và B sao cho $\vec{O A} = \vec{u}, \vec{O B} = \vec{v} .$

b) Tính AB², OA², OB² theo tọa độ của A và B.

c) Tính $\vec{O A} . \vec{O B}$ theo tọa độ của A, B.

Lời giải

a) Vì $\vec{O A} = \vec{u}$ mà $\vec{u} = (x; y)$ nên $\vec{O A} = (x; y)$ suy ra A(x; y).

Vì $\vec{O B} = \vec{v}$ mà $\vec{v} = (x'; y')$ nên $\vec{O B} = (x^{'}; y^{'})$ suy ra B(x'; y').

b) +) Ta có: A(x; y) và B(x'; y') $\Rightarrow \vec{A B} = (x' - x; y' - y)$

$\Rightarrow A B = \sqrt{{(x' - x)}^{2} + {(y' - y)}^{2}}$

$\Rightarrow A B^{2} = {(x' - x)}^{2} + {(y' - y)}^{2} .$

+) Ta có :

$\vec{O A} = (x; y) \Rightarrow O A = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \Rightarrow O A^{2} = x^{2} + y^{2} .$

+) Ta có:

$\vec{O B} = (x'; y') \Rightarrow O B = \sqrt{x'^{2} + y'^{2}} \Rightarrow O B^{2} = x'^{2} + y'^{2} .$

Vậy $A B^{2} = {(x' - x)}^{2} + {(y' - y)}^{2};$ $O A^{2} = x^{2} + y^{2}$ và $O B^{2} = x'^{2} + y'^{2} .$

c) Ta có: $\vec{O A} . \vec{O B} = O A . O B . c o s (\vec{O A}, \vec{O B}) = O A . O B . c o s \hat{A O B}$

Xét tam giác OAB, theo định lí côsin ta có:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương (ảnh 1)

Luyện tập 3 trang 68 Toán 10 Tập 1: Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (0; - 5), \vec{v} = (\sqrt{3}; 1)$

Lời giải

Giải Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy $\vec{u} . \vec{v} = - 5$ và góc giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ bằng 120°.

HĐ 4 trang 68 Toán 10 Tập 1: Cho ba vectơ $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}),$ $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}),$ $\vec{w} = (x_{3}; y_{3}) .$

a) Tính $\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}), \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$ theo tọa độ các vectơ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} .$

b) So sánh $\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w})$ và $\vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$ .

c) So sánh $\vec{u} . \vec{v}$ và $\vec{v} . \vec{u}$ .

Lời giải

a) Với $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}), \vec{v} = (x_{2}; y_{2})$ và $\vec{w} = (x_{3}; y_{3})$ ta có:

+) $\vec{v} + \vec{w} = (x_{2} + x_{3}; y_{2} + y_{3})$

$\Rightarrow \vec{u} . (\vec{v} + \vec{w})$ $= x_{1} . (x_{2} + x_{3}) + y_{1} . (y_{2} + y_{3}) = x_{1} . x_{2} + x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{2} + y_{1} . y_{3}$ .

+) $\vec{u} . \vec{v} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2}$ và $\vec{u} . \vec{w} = x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3}$

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} + x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3}$ .

b) Theo câu a ta có:

$\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}) = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} + x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3}$ và $\vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} + x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3}$

$\Rightarrow \vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w} .$

Vậy $\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w} .$

c) Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2}$ và $\vec{v} . \vec{u} = x_{2} . x_{1} + y_{2} . y_{1} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} .$

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = \vec{v} . \vec{u} .$

Vậy $\vec{u} . \vec{v} = \vec{v} . \vec{u} .$

Giải Toán 10 trang 70 Tập 1

Luyện tập 4 trang 70 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với A(‒1;2), B(8;‒1), C(8;8). Gọi H là trực tâm của tam giác.

a) Chứng minh rằng $\vec{A H} . \vec{B C} = 0$ và $\vec{B H} . \vec{C A} = 0$

b) Tìm tọa độ của H.

c) Giải tam giác ABC.

Lời giải

a) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên:

+) $A H ⊥ B C \Rightarrow \vec{A H} ⊥ \vec{B C} \Rightarrow \vec{A H} . \vec{B C} = 0;$

+) $B H ⊥ C A \Rightarrow \vec{B H} ⊥ \vec{C A} \Rightarrow \vec{B H} . \vec{C A} = 0$ .

Vậy $\vec{A H} . \vec{B C} = 0$ và $\vec{B H} . \vec{C A} = 0$ .

b) Gọi tọa độ điểm H là H(x; y).

Ta có: A(‒1;2), B(8;‒1), C(8;8) và H(x; y).

$\Rightarrow \vec{A H} = (x + 1; y - 2); \vec{B C} = (0; 9)$ và $\vec{B H} = (x - 8; y + 1); \vec{A C} = (9; 6)$

Suy ra $\vec{A H} . \vec{B C} = (x + 1) .0 + (y - 2) .9 = 9 (y - 2) .$

Và $\vec{B H} . \vec{A C} = (x - 8) .9 + (y + 1) .6 = 9 x - 72 + 6 y + 6 = 9 x + 6 y - 66$ .

Theo câu a ta có: $\vec{A H} . \vec{B C} = 0$ $\Leftrightarrow$ 9(y – 2) = 0 $\Leftrightarrow$ y – 2 = 0 $\Leftrightarrow$ y = 2.

Và $\vec{B H} . \vec{A C} = 0$ (do BH ⊥ AC) $\Leftrightarrow$ 9x + 6y – 66 = 0.

Thay y = 2 vào 9x + 6y – 66 = 0 ta được: 9x + 6.2 – 66 = 0

$\Leftrightarrow$ 9x – 54 = 0

$\Leftrightarrow$ 9x = 54

$\Leftrightarrow$ x = 6

⇒ H(6; 2)

Vậy H(6; 2).

c) Với A(‒1;2), B(8;‒1), C(8;8) ta có:

Cho tam giác ABC với A(‒1;2), B(8;‒1), C(8;8). Gọi H là trực tâm (ảnh 1)

Xét tam giác ABC, theo định lí tổng ba góc trong một tam giác ta có: $\hat{B A C} + \hat{A B C} + \hat{A C B} = 180 °$

$\Rightarrow \hat{A C B} = 180 ° - (\hat{B A C} + \hat{A B C})$

$\Rightarrow \hat{A C B} \approx 180 ° - (52 ° 8^{'} + 71 ° 34^{'}) \approx 56 ° 18^{'}$

Vậy

$A B = 3 \sqrt{10}, A C = 3 \sqrt{13}, B C = 9, \hat{B A C} \approx 52 ° 8^{'}, \hat{A B C} \approx 71 ° 34^{'}, \hat{A C B} \approx 56 ° 18^{'} .$

Vận dụng trang 70 Toán 10 Tập 1: Một lực $\vec{F}$ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực $\vec{F}$ được phân tích thành hai lực thành phần $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ $(\vec{F} = \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}})$

a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực $\vec{F}$ (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$

b) Giả sử các lực thành phần $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực $\vec{F}$ và lực $\vec{F_{1}}$

Lời giải

a) Một lực $\vec{F}$ tác động lên một vật làm vật dịch chuyển tịnh tiến theo một vectơ độ rời $\vec{s} .$

+) Công sinh bởi lực $\vec{F}$ là $A_{\vec{F}} = \vec{F} . \vec{s}$

+) Công sinh bởi lực $\vec{F_{1}}$ là $A_{\vec{F_{1}}} = \vec{F_{1}} . \vec{s}$

+) Công sinh bởi lực $\vec{F_{2}}$ là $A_{\vec{F_{2}}} = \vec{F_{2}} . \vec{s}$

Suy ra $A_{\vec{F_{1}}} + A_{\vec{F_{2}}} = \vec{F_{1}} . \vec{s} + \vec{F_{2}} . \vec{s} = (\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}) . \vec{s}$ (tính chất phân phối đối với phép cộng của tích vô hướng)

Mà $\vec{F} = \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}$ do đó $A_{\vec{F_{1}}} + A_{\vec{F_{2}}} = (\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}) . \vec{s} = \vec{F} . \vec{s} = A_{\vec{F}}$

Vậy $A_{\vec{F}} = A_{\vec{F_{1}}} + A_{\vec{F_{2}}} .$

b) +) Công sinh bởi lực $\vec{F}$ là $A_{\vec{F}} = \vec{F} . \vec{s} = F . s . c os (\vec{F}, \vec{s})$

Do vật chuyển động thẳng từ A đến B nên $\vec{s}$ cùng hướng với $\vec{F_{1}}$ .

Suy ra $(\vec{F}, \vec{s}) = (\vec{F}, \vec{F_{1}})$

Do đó $A_{\vec{F}} = F . s . c os (\vec{F}, \vec{F_{1}})$

Ta lại có: $F_{1} = F . c os (\vec{F}, \vec{F_{1}})$

$\Rightarrow A_{\vec{F}} = F_{1} . s$ (1)

+) Công sinh bởi lực $\vec{F_{1}}$ là $A_{\vec{F_{1}}} = \vec{F_{1}} . \vec{s} = F_{1} . s . c os (\vec{F_{1}}, \vec{s})$

Do $\vec{s}$ cùng hướng với $\vec{F_{1}}$ nên $(\vec{F_{1}}, \vec{s}) = 0 °$

$\Rightarrow A_{\vec{F_{1}}} = F_{1} . s . c {os0}^{0} = F_{1} . s$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $A_{\vec{F}} = A_{\vec{F_{1}}} (= F_{1} . s)$ .

Vậy $A_{\vec{F}} = A_{\vec{F_{1}}} .$

Bài tập

Bài 4.21 trang 70 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\vec{a} = (- 3; 1), \vec{b} = (2; 6);$

b) $\vec{a} = (3; 1), \vec{b} = (2; 4);$

c) $\vec{a} = (- \sqrt{2}; 1), \vec{b} = (2; - \sqrt{2});$

Lời giải

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ a và vecto b (ảnh 1)

Bài 4.22 trang 70 Toán 10 Tập 1: Tìm điều kiện của $\vec{u}, \vec{v}$ để:

a) $\vec{u} . \vec{v} = \vec{u}| . \vec{v}|;$

b) $\vec{u} . \vec{v} = - \vec{u}| . \vec{v}|;$

Lời giải

a) Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = \vec{u}| . \vec{v}| . \cos (\vec{u}, \vec{v})$

Để $\vec{u} . \vec{v} = \vec{u}| . \vec{v}|$ thì $\vec{u}| . \vec{v}| . \cos (\vec{u}, \vec{v}) = \vec{u}| . \vec{v}|$

$\Leftrightarrow \cos (\vec{u}, \vec{v}) = 1 \Leftrightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 0 °$

Suy ra $\vec{u}, \vec{v}$ là hai vectơ cùng hướng.

Vậy hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ cùng hướng thì $\vec{u} . \vec{v} = \vec{u}| . \vec{v}| .$

b) Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = \vec{u}| . \vec{v}| . \cos (\vec{u}, \vec{v})$

Để $\vec{u} . \vec{v} = - \vec{u}| . \vec{v}|$ thì $\vec{u}| . \vec{v}| . \cos (\vec{u}, \vec{v}) = - \vec{u}| . \vec{v}|$

$\Leftrightarrow \cos (\vec{u}, \vec{v}) = - 1 \Leftrightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 180 °$

Suy ra $\vec{u}, \vec{v}$ là hai vectơ ngược hướng.

Vậy hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ ngược hướng thì $\vec{u} . \vec{v} = - \vec{u}| . \vec{v}| .$

Bài 4.23 trang 70 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2), B(‒4; 3). Gọi M(t; 0) là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính $\vec{A M} . \vec{B M}$ theo t;

b) Tính t để $\hat{A M B} = 90 ° .$

Lời giải

a) Với A(1; 2), B(‒4; 3) và M(t; 0) ta có:

$\vec{A M} = (t - 1; - 2), \vec{B M} = (t + 4; - 3)$

$\Rightarrow \vec{A M} . \vec{B M} = (t - 1) (t + 4) + (- 2) . (- 3) = t^{2} + 3 t - 4 + 6 = t^{2} + 3 t + 2.$

b) Để $\hat{A M B} = 90 °$ thì $\vec{M A} . \vec{M B} = 0 \Leftrightarrow \vec{A M} . \vec{B M} = 0$

$\Leftrightarrow t^{2} + 3 t + 2 = 0 \Leftrightarrow (t + 1) (t + 2) = 0 \Leftrightarrow \begin{array}{l} t = - 1 \\ t = - 2 \end{array}$

Vậy với $t \in - 1; - 2\}$ thì $\hat{A M B} = 90 ° .$

Bài 4.24 trang 70 SGK Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(‒4; 1), B(2; 4), C(2; ‒2).

a) Giải tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Lời giải

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(‒4; 1), B(2; 4) (ảnh 1)

+) Theo định lí cosin, ta có:

$cos A = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} = \frac{{(3 \sqrt{5})}^{2} + {(3 \sqrt{5})}^{2} - 6^{2}}{2.3 \sqrt{5} .3 \sqrt{5}} = \frac{54}{90} = \frac{3}{5}$

$\Rightarrow \hat{A} \approx 53 ° 8'$

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A

$\Rightarrow \hat{B} = \hat{C} = \frac{180^{0} - \hat{A}}{2} \approx \frac{180 ° - 53 ° 8'}{2} = 63 ° 26'$ .

Vậy: $A B = A C = 3 \sqrt{5}, B C = 6, \hat{A} \approx 53 ° 8', \hat{B} = \hat{C} \approx 63 ° 26' .$

b) Giả sử trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ là H(x; y).

Do H là trực tâm của tam giác ABC nên $A H ⊥ B C; B H ⊥ A C$ $\Leftrightarrow \vec{A H} ⊥ \vec{B C}; \vec{B H} ⊥ \vec{A C}$

Với A(‒4; 1), B(2; 4), C(2; ‒2) và H(x; y) ta có:

$\vec{A H} = (x + 4; y - 1); \vec{B C} = (0; - 6); \vec{B H} = (x - 2; y - 4); \vec{A C} = (6; - 3)$

Vì $\vec{A H} ⊥ \vec{B C}$ nên $\vec{A H} . \vec{B C} = 0$ $\Leftrightarrow$ (x + 4).0 + (y – 1).(‒6) = 0 $\Leftrightarrow$ ‒6.(y – 1) = 0 $\Leftrightarrow$ y = 1.

Vì $\vec{B H} ⊥ \vec{A C}$ nên $\vec{B H} . \vec{A C} = 0$ Û (x – 2).6 + (y – 4).(‒3) = 0

(x – 2).2 + (y – 4).(‒1) = 0 Û 2x – y = 0.

Mà y = 1 $\Rightarrow 2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} .$

Vậy toạ độ trực tâm H của tam giác ABC là $H (\frac{1}{2}; 1)$ .

Bài 4.25 trang 70 Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} \sqrt{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2} - {(\vec{A B} . \vec{A C})}^{2}} .$

Lời giải

Cách 1:

Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có (ảnh 1)

Cách 2:

Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có (ảnh 1)

Bài 4.26 trang 70 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M,

MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC².

Lời giải

$M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = {\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2}$

$= {(\vec{M G} + \vec{G A})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G B})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G C})}^{2}$ (Quy tắc ba điểm)

$= {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G A} + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G B} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G C} + {\vec{G C}}^{2} = ({\vec{M G}}^{2} + {\vec{M G}}^{2} + {\vec{M G}}^{2}) + (2 \vec{M G} . \vec{G A} + 2 \vec{M G} . \vec{G B} + 2 \vec{M G} . \vec{G C}) + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2}$

$= 3 {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2}$

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ (tính chất trọng tâm tam giác)

$\Rightarrow \vec{M G} . (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) = \vec{M G} . \vec{0} = 0$

$\Rightarrow M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 {\vec{M G}}^{2} + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2} .$

$\Rightarrow$ MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC².

Vậy MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC².

Lý thuyết Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

1. Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ khác $\vec{0}$ . Từ một điểm A tùy ý, vẽ các vectơ $\vec{A B} = \vec{u}$ và $\vec{A C} = \vec{v}$ . Khi đó, số đo của góc BAC được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ hay đơn giản là góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , kí hiệu là ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ).

Chú ý :

+ Quy ước rằng góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{0}$ có thể nhận một giá trị tùy ý từ 0° đến 180°.

+ Nếu ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = 90° thì ta nói rằng $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau. Kí hiệu $\vec{u}$ ⊥ $\vec{v}$ hoặc $\vec{v}$ ⊥ $\vec{u}$ . Đặc biệt được coi là vuông góc với mọi vectơ.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A và $\hat{B} = 30 °$ . Tính $(\vec{A B}, \vec{A C})$ , $(\vec{C A}, \vec{C B})$ , $(\vec{A B}, \vec{B C})$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $(\vec{A B}, \vec{A C})$ = $\hat{B A C} = 90 °$ .

Tam giác ABC vuông tại A nên ta có .

$\hat{A C B} + \hat{A B C} = 90 ° \Rightarrow \hat{A C B} = 90 ° - \hat{A B C} = 90 ° - 30 ° = 60 °$

Suy ra: $(\vec{C A}, \vec{C B}) = \hat{A C B} = 60 °$ .

Vẽ $\vec{B D}$ sao cho $\vec{B D}$ = $\vec{A B}$ . Khi đó $(\vec{A B}, \vec{B C})$ = $(\vec{B D}, \vec{B C})$ = $\hat{C B D}$ .

Mặt khác $\hat{A B C} + \hat{C B D} = 180 °$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\hat{C B D} = 180 ° - \hat{A B C} = 180 ° - 30 ° = 150 °$ .

Do đó, $(\vec{A B}, \vec{B C})$ = $\hat{C B D}$ = 150°.

Vậy $(\vec{A B}, \vec{A C})$ = 90°, $(\vec{C A}, \vec{C B})$ = 60°, $(\vec{A B}, \vec{B C})$ = 150°.

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là một số, kí hiệu là $\vec{u}$ . $\vec{v}$ , được xác định bởi công thức sau:

$\vec{u}$ . $\vec{v}$ = | $\vec{u}$ |.| $\vec{v}$ |.cos( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ )

Chú ý:

+) $\vec{u}$ ⊥ $\vec{v}$ ⇔ $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = 0.

+) $\vec{u}$ . $\vec{u}$ còn được viết là ${\vec{u}}^{2}$ và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\vec{u}$ .

Ta có ${\vec{u}}^{2} = | \vec{u} | . | \vec{u} | . \cos 0 ° = {(\vec{u})}^{2}$ .

(Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó.)

Ví dụ: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2 và có đường cao AH. Tính các tích vô hướng:

a) $\vec{A B} . \vec{A C}$ ;

b) $\vec{A H} . \vec{B C}$ .

Hướng dẫn giải

Lý thuyết Toán 10 Kết nối tri thức Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

a) Vì tam giác ABC đều nên $(\vec{A B}, \vec{A C}) = \hat{B A C} = 60 °$ .

Suy ra: $\vec{A B} . \vec{A C} = | \vec{A B} | . | \vec{A C} | \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = 2.2. \cos 60 ° = 2.2. \frac{1}{2} = 2$ .

Vậy $\vec{A B} . \vec{A C}$ = 2.

b) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.

Do đó $(\vec{A H}, \vec{B C}) = 90 °$ .

Ta có: $\vec{A H} . \vec{B C} = | \vec{A H} | . | \vec{B C} | \cos (\vec{A H}, \vec{B C}) = | \vec{A H} | . | \vec{B C} | \cos 90 ° = | \vec{A H} | . | \vec{B C} | .0 = 0$ .

Vậy $\vec{A H} . \vec{B C}$ = 0.

3. Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng

• Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x'; y')$ được tính theo công thức :

$\vec{u}$ . $\vec{v}$ = x.x' + y.y'.

Nhận xét:

+ Hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi x.x' + y.y' = 0.

+ Bình phương vô hướng của $\vec{u} = (x; y)$ là ${\vec{u}}^{2}$ = x² + y².

+ Nếu $\vec{u}$ ≠ $\vec{0}$ và $\vec{v}$ ≠ $\vec{0}$ thì cos( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = $\frac{\vec{u} . \vec{v}}{| \vec{u} | . | \vec{v} |} = \frac{x x' + y y'}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} . \sqrt{x'^{2} + y'^{2}}}$ .

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ $\vec{u} = (0; - 5)$ và $\vec{v} = (\sqrt{3}; 1)$ .

a) Tính tích vô hướng của hai vectơ trên.

b) Tìm góc giữa của hai vectơ trên.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = 0. $\sqrt{3}$ + (–5).1= –5;

Vậy $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = –5.

b) Ta có $| \vec{u |} = \sqrt{0^{2} + {(- 5)}^{2}} = 5$ ; $| \vec{v} | = \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 1^{2}} = 2$

Suy ra : cos( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = $\frac{\vec{u} . \vec{v}}{| \vec{u} | . | \vec{v} |} = \frac{- 5}{5.2} = \frac{- 5}{10} = \frac{- 1}{2}$ .

Suy ra ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = 120°.

Vậy ( $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) = 120°.

• Tính chất của tích vô hướng :

Với ba vectơ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ bất kì và mọi số thực k, ta có :

+) $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = $\vec{v}$ . $\vec{u}$ (tính chất giao hoán);

+) $\vec{u}$ . ( $\vec{v}$ + $\vec{w}$ ) = $\vec{u}$ . $\vec{v}$ + $\vec{u}$ . $\vec{w}$ (tính chất phân phối đối với phép cộng) ;

+) (k $\vec{u}$ ). $\vec{v}$ = k ( $\vec{u}$ . $\vec{v}$ ) = $\vec{u}$ .( k $\vec{v}$ ).

Chú ý: Từ tính trên, ta có thể chứng minh được :

$\vec{u}$ . ( $\vec{v}$ – $\vec{w}$ )= $\vec{u}$ . $\vec{v}$ – $\vec{u}$ . $\vec{w}$ (tính chất phân phối đối với phép trừ) ;

( $\vec{u}$ + $\vec{v}$ )² = ${\vec{u}}^{2}$ + 2 $\vec{u}$ . $\vec{v}$ + ${\vec{v}}^{2}$ ; ( $\vec{u}$ – $\vec{v}$ )² = ${\vec{u}}^{2}$ –2 $\vec{u}$ . $\vec{v}$ + ${\vec{v}}^{2}$ ;