Anonymous

Giải Toán 10 trang 70 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

- asked 2 months agoVotes

0Answers

0Views

Giải Toán 10 trang 70 Tập 1

Luyện tập 4 trang 70 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với A(‒1;2), B(8;‒1), C(8;8). Gọi H là trực tâm của tam giác.

a) Chứng minh rằng $\vec{A H} . \vec{B C} = 0$ và $\vec{B H} . \vec{C A} = 0$

b) Tìm tọa độ của H.

c) Giải tam giác ABC.

Lời giải

a) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên:

+) $A H ⊥ B C \Rightarrow \vec{A H} ⊥ \vec{B C} \Rightarrow \vec{A H} . \vec{B C} = 0;$

+) $B H ⊥ C A \Rightarrow \vec{B H} ⊥ \vec{C A} \Rightarrow \vec{B H} . \vec{C A} = 0$ .

Vậy $\vec{A H} . \vec{B C} = 0$ và $\vec{B H} . \vec{C A} = 0$ .

b) Gọi tọa độ điểm H là H(x; y).

Ta có: A(‒1;2), B(8;‒1), C(8;8) và H(x; y).

$\Rightarrow \vec{A H} = (x + 1; y - 2); \vec{B C} = (0; 9)$ và $\vec{B H} = (x - 8; y + 1); \vec{A C} = (9; 6)$

Suy ra $\vec{A H} . \vec{B C} = (x + 1) .0 + (y - 2) .9 = 9 (y - 2) .$

Và $\vec{B H} . \vec{A C} = (x - 8) .9 + (y + 1) .6 = 9 x - 72 + 6 y + 6 = 9 x + 6 y - 66$ .

Theo câu a ta có: $\vec{A H} . \vec{B C} = 0$ $\Leftrightarrow$ 9(y – 2) = 0 $\Leftrightarrow$ y – 2 = 0 $\Leftrightarrow$ y = 2.

Và $\vec{B H} . \vec{A C} = 0$ (do BH ⊥ AC) $\Leftrightarrow$ 9x + 6y – 66 = 0.

Thay y = 2 vào 9x + 6y – 66 = 0 ta được: 9x + 6.2 – 66 = 0

$\Leftrightarrow$ 9x – 54 = 0

$\Leftrightarrow$ 9x = 54

$\Leftrightarrow$ x = 6

⇒ H(6; 2)

Vậy H(6; 2).

c) Với A(‒1;2), B(8;‒1), C(8;8) ta có:

Cho tam giác ABC với A(‒1;2), B(8;‒1), C(8;8). Gọi H là trực tâm (ảnh 1)

Xét tam giác ABC, theo định lí tổng ba góc trong một tam giác ta có: $\hat{B A C} + \hat{A B C} + \hat{A C B} = 180 °$

$\Rightarrow \hat{A C B} = 180 ° - (\hat{B A C} + \hat{A B C})$

$\Rightarrow \hat{A C B} \approx 180 ° - (52 ° 8^{'} + 71 ° 34^{'}) \approx 56 ° 18^{'}$

Vậy

$A B = 3 \sqrt{10}, A C = 3 \sqrt{13}, B C = 9, \hat{B A C} \approx 52 ° 8^{'}, \hat{A B C} \approx 71 ° 34^{'}, \hat{A C B} \approx 56 ° 18^{'} .$

Vận dụng trang 70 Toán 10 Tập 1: Một lực $\vec{F}$ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực $\vec{F}$ được phân tích thành hai lực thành phần $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ $(\vec{F} = \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}})$

a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực $\vec{F}$ (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$

b) Giả sử các lực thành phần $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực $\vec{F}$ và lực $\vec{F_{1}}$

Lời giải

a) Một lực $\vec{F}$ tác động lên một vật làm vật dịch chuyển tịnh tiến theo một vectơ độ rời $\vec{s} .$

+) Công sinh bởi lực $\vec{F}$ là $A_{\vec{F}} = \vec{F} . \vec{s}$

+) Công sinh bởi lực $\vec{F_{1}}$ là $A_{\vec{F_{1}}} = \vec{F_{1}} . \vec{s}$

+) Công sinh bởi lực $\vec{F_{2}}$ là $A_{\vec{F_{2}}} = \vec{F_{2}} . \vec{s}$

Suy ra $A_{\vec{F_{1}}} + A_{\vec{F_{2}}} = \vec{F_{1}} . \vec{s} + \vec{F_{2}} . \vec{s} = (\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}) . \vec{s}$ (tính chất phân phối đối với phép cộng của tích vô hướng)

Mà $\vec{F} = \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}$ do đó $A_{\vec{F_{1}}} + A_{\vec{F_{2}}} = (\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}) . \vec{s} = \vec{F} . \vec{s} = A_{\vec{F}}$

Vậy $A_{\vec{F}} = A_{\vec{F_{1}}} + A_{\vec{F_{2}}} .$

b) +) Công sinh bởi lực $\vec{F}$ là $A_{\vec{F}} = \vec{F} . \vec{s} = F . s . c os (\vec{F}, \vec{s})$

Do vật chuyển động thẳng từ A đến B nên $\vec{s}$ cùng hướng với $\vec{F_{1}}$ .

Suy ra $(\vec{F}, \vec{s}) = (\vec{F}, \vec{F_{1}})$

Do đó $A_{\vec{F}} = F . s . c os (\vec{F}, \vec{F_{1}})$

Ta lại có: $F_{1} = F . c os (\vec{F}, \vec{F_{1}})$

$\Rightarrow A_{\vec{F}} = F_{1} . s$ (1)

+) Công sinh bởi lực $\vec{F_{1}}$ là $A_{\vec{F_{1}}} = \vec{F_{1}} . \vec{s} = F_{1} . s . c os (\vec{F_{1}}, \vec{s})$

Do $\vec{s}$ cùng hướng với $\vec{F_{1}}$ nên $(\vec{F_{1}}, \vec{s}) = 0 °$

$\Rightarrow A_{\vec{F_{1}}} = F_{1} . s . c {os0}^{0} = F_{1} . s$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $A_{\vec{F}} = A_{\vec{F_{1}}} (= F_{1} . s)$ .

Vậy $A_{\vec{F}} = A_{\vec{F_{1}}} .$

Bài tập

Bài 4.21 trang 70 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\vec{a} = (- 3; 1), \vec{b} = (2; 6);$

b) $\vec{a} = (3; 1), \vec{b} = (2; 4);$

c) $\vec{a} = (- \sqrt{2}; 1), \vec{b} = (2; - \sqrt{2});$

Lời giải

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ a và vecto b (ảnh 1)

Bài 4.22 trang 70 Toán 10 Tập 1: Tìm điều kiện của $\vec{u}, \vec{v}$ để:

a) $\vec{u} . \vec{v} = \vec{u}| . \vec{v}|;$

b) $\vec{u} . \vec{v} = - \vec{u}| . \vec{v}|;$

Lời giải

a) Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = \vec{u}| . \vec{v}| . \cos (\vec{u}, \vec{v})$

Để $\vec{u} . \vec{v} = \vec{u}| . \vec{v}|$ thì $\vec{u}| . \vec{v}| . \cos (\vec{u}, \vec{v}) = \vec{u}| . \vec{v}|$

$\Leftrightarrow \cos (\vec{u}, \vec{v}) = 1 \Leftrightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 0 °$

Suy ra $\vec{u}, \vec{v}$ là hai vectơ cùng hướng.

Vậy hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ cùng hướng thì $\vec{u} . \vec{v} = \vec{u}| . \vec{v}| .$

b) Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = \vec{u}| . \vec{v}| . \cos (\vec{u}, \vec{v})$

Để $\vec{u} . \vec{v} = - \vec{u}| . \vec{v}|$ thì $\vec{u}| . \vec{v}| . \cos (\vec{u}, \vec{v}) = - \vec{u}| . \vec{v}|$

$\Leftrightarrow \cos (\vec{u}, \vec{v}) = - 1 \Leftrightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 180 °$

Suy ra $\vec{u}, \vec{v}$ là hai vectơ ngược hướng.

Vậy hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ ngược hướng thì $\vec{u} . \vec{v} = - \vec{u}| . \vec{v}| .$

Bài 4.23 trang 70 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2), B(‒4; 3). Gọi M(t; 0) là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính $\vec{A M} . \vec{B M}$ theo t;

b) Tính t để $\hat{A M B} = 90 ° .$

Lời giải

a) Với A(1; 2), B(‒4; 3) và M(t; 0) ta có:

$\vec{A M} = (t - 1; - 2), \vec{B M} = (t + 4; - 3)$

$\Rightarrow \vec{A M} . \vec{B M} = (t - 1) (t + 4) + (- 2) . (- 3) = t^{2} + 3 t - 4 + 6 = t^{2} + 3 t + 2.$

b) Để $\hat{A M B} = 90 °$ thì $\vec{M A} . \vec{M B} = 0 \Leftrightarrow \vec{A M} . \vec{B M} = 0$

$\Leftrightarrow t^{2} + 3 t + 2 = 0 \Leftrightarrow (t + 1) (t + 2) = 0 \Leftrightarrow \begin{array}{l} t = - 1 \\ t = - 2 \end{array}$

Vậy với $t \in - 1; - 2\}$ thì $\hat{A M B} = 90 ° .$

Bài 4.24 trang 70 SGK Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(‒4; 1), B(2; 4), C(2; ‒2).

a) Giải tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Lời giải

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(‒4; 1), B(2; 4) (ảnh 1)

+) Theo định lí cosin, ta có:

$cos A = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} = \frac{{(3 \sqrt{5})}^{2} + {(3 \sqrt{5})}^{2} - 6^{2}}{2.3 \sqrt{5} .3 \sqrt{5}} = \frac{54}{90} = \frac{3}{5}$

$\Rightarrow \hat{A} \approx 53 ° 8'$

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A

$\Rightarrow \hat{B} = \hat{C} = \frac{180^{0} - \hat{A}}{2} \approx \frac{180 ° - 53 ° 8'}{2} = 63 ° 26'$ .

Vậy: $A B = A C = 3 \sqrt{5}, B C = 6, \hat{A} \approx 53 ° 8', \hat{B} = \hat{C} \approx 63 ° 26' .$

b) Giả sử trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ là H(x; y).

Do H là trực tâm của tam giác ABC nên $A H ⊥ B C; B H ⊥ A C$ $\Leftrightarrow \vec{A H} ⊥ \vec{B C}; \vec{B H} ⊥ \vec{A C}$

Với A(‒4; 1), B(2; 4), C(2; ‒2) và H(x; y) ta có:

$\vec{A H} = (x + 4; y - 1); \vec{B C} = (0; - 6); \vec{B H} = (x - 2; y - 4); \vec{A C} = (6; - 3)$

Vì $\vec{A H} ⊥ \vec{B C}$ nên $\vec{A H} . \vec{B C} = 0$ $\Leftrightarrow$ (x + 4).0 + (y – 1).(‒6) = 0 $\Leftrightarrow$ ‒6.(y – 1) = 0 $\Leftrightarrow$ y = 1.

Vì $\vec{B H} ⊥ \vec{A C}$ nên $\vec{B H} . \vec{A C} = 0$ Û (x – 2).6 + (y – 4).(‒3) = 0

(x – 2).2 + (y – 4).(‒1) = 0 Û 2x – y = 0.

Mà y = 1 $\Rightarrow 2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} .$

Vậy toạ độ trực tâm H của tam giác ABC là $H (\frac{1}{2}; 1)$ .

Bài 4.25 trang 70 Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} \sqrt{{\vec{A B}}^{2} . {\vec{A C}}^{2} - {(\vec{A B} . \vec{A C})}^{2}} .$

Lời giải

Cách 1:

Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có (ảnh 1)

Cách 2:

Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có (ảnh 1)

Bài 4.26 trang 70 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M,

MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC².

Lời giải

$M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = {\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2}$

$= {(\vec{M G} + \vec{G A})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G B})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G C})}^{2}$ (Quy tắc ba điểm)

$= {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G A} + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G B} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{M G}}^{2} + 2 \vec{M G} . \vec{G C} + {\vec{G C}}^{2} = ({\vec{M G}}^{2} + {\vec{M G}}^{2} + {\vec{M G}}^{2}) + (2 \vec{M G} . \vec{G A} + 2 \vec{M G} . \vec{G B} + 2 \vec{M G} . \vec{G C}) + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2}$