Anonymous

Giải Toán 10 trang 68 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

- asked 2 months agoVotes

0Answers

0Views

Giải Toán 10 trang 68 Tập 1

HĐ 2 trang 68 Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (k x; k y) .$ Hãy kiểm tra công thức $\vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$ theo từng trường hợp sau:

a) $\vec{u} = \vec{0};$

b) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k \geq 0;$

c) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và k < 0.

Lời giải

Ta có: $\vec{u} = (x; y)$ $\Rightarrow \vec{u}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$\vec{v} = (k x; k y) \Rightarrow \vec{v}| = \sqrt{{(k x)}^{2} + {(k y)}^{2}} = \sqrt{k^{2} x^{2} + k^{2} y^{2}} = \sqrt{k^{2} (x^{2} + y^{2})} = k| \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

a) Vì vectơ $\vec{0}$ vuông góc với mọi vectơ nên vectơ $\vec{v}$ vuông góc với $\vec{u} = \vec{0}$

Do đó $\vec{u} ⊥ \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} . \vec{v} = 0$

Ta có: $\vec{u} = \vec{0} \Rightarrow \vec{u} = (0; 0) \Rightarrow \begin{array}{l} x = 0 \\ y = 0 \end{array}$

Do đó $k (x^{2} + y^{2}) = k (0^{2} + 0^{2}) = 0$

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2}) = 0$

Vậy với $\vec{u} = \vec{0}$ thì công thức $\vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$ đúng.

b) Vì k ≥ 0 nên vectơ $\vec{v} = (k x; k y)$ cùng hướng với vectơ $\vec{u} = (x; y)$

$\Rightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 0 °$

Do đó $\vec{u} . \vec{v} = \vec{u}| \vec{v}| c o s (\vec{u}, \vec{v})$

$= \sqrt{x^{2} + y^{2}} . k| \sqrt{x^{2} + y^{2}} . c os 0 ° = k . (x^{2} + y^{2}) .1 = k (x^{2} + y^{2})$

Vậy với $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k \geq 0$ thì công thức $\vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$ đúng.

c) Vì k < 0 nên vectơ $\vec{v} = (k x; k y)$ ngược hướng với vectơ $\vec{u} = (x; y)$

$\Rightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 180 °$

Do đó: $\vec{u} . \vec{v} = \vec{u}| \vec{v}| c o s (\vec{u}, \vec{v})$

$= \sqrt{x^{2} + y^{2}} . k| \sqrt{x^{2} + y^{2}} . c os18 0 ° = - k . (x^{2} + y^{2}) . (- 1) = k (x^{2} + y^{2})$

Vậy với $\vec{u} \neq \vec{0}$ và k < 0 thì công thức $\vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$ đúng.

HĐ 3 trang 68 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x'; y')$ .

a) Xác định tọa độ các điểm A và B sao cho $\vec{O A} = \vec{u}, \vec{O B} = \vec{v} .$

b) Tính AB², OA², OB² theo tọa độ của A và B.

c) Tính $\vec{O A} . \vec{O B}$ theo tọa độ của A, B.

Lời giải

a) Vì $\vec{O A} = \vec{u}$ mà $\vec{u} = (x; y)$ nên $\vec{O A} = (x; y)$ suy ra A(x; y).

Vì $\vec{O B} = \vec{v}$ mà $\vec{v} = (x'; y')$ nên $\vec{O B} = (x^{'}; y^{'})$ suy ra B(x'; y').

b) +) Ta có: A(x; y) và B(x'; y') $\Rightarrow \vec{A B} = (x' - x; y' - y)$

$\Rightarrow A B = \sqrt{{(x' - x)}^{2} + {(y' - y)}^{2}}$

$\Rightarrow A B^{2} = {(x' - x)}^{2} + {(y' - y)}^{2} .$

+) Ta có :

$\vec{O A} = (x; y) \Rightarrow O A = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \Rightarrow O A^{2} = x^{2} + y^{2} .$

+) Ta có:

$\vec{O B} = (x'; y') \Rightarrow O B = \sqrt{x'^{2} + y'^{2}} \Rightarrow O B^{2} = x'^{2} + y'^{2} .$

Vậy $A B^{2} = {(x' - x)}^{2} + {(y' - y)}^{2};$ $O A^{2} = x^{2} + y^{2}$ và $O B^{2} = x'^{2} + y'^{2} .$

c) Ta có: $\vec{O A} . \vec{O B} = O A . O B . c o s (\vec{O A}, \vec{O B}) = O A . O B . c o s \hat{A O B}$

Xét tam giác OAB, theo định lí côsin ta có:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương (ảnh 1)

Luyện tập 3 trang 68 Toán 10 Tập 1: Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (0; - 5), \vec{v} = (\sqrt{3}; 1)$

Lời giải

Giải Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy $\vec{u} . \vec{v} = - 5$ và góc giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ bằng 120°.

HĐ 4 trang 68 Toán 10 Tập 1: Cho ba vectơ $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}),$ $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}),$ $\vec{w} = (x_{3}; y_{3}) .$

a) Tính $\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}), \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$ theo tọa độ các vectơ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} .$

b) So sánh $\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w})$ và $\vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$ .

c) So sánh $\vec{u} . \vec{v}$ và $\vec{v} . \vec{u}$ .

Lời giải

a) Với $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}), \vec{v} = (x_{2}; y_{2})$ và $\vec{w} = (x_{3}; y_{3})$ ta có:

+) $\vec{v} + \vec{w} = (x_{2} + x_{3}; y_{2} + y_{3})$

$\Rightarrow \vec{u} . (\vec{v} + \vec{w})$ $= x_{1} . (x_{2} + x_{3}) + y_{1} . (y_{2} + y_{3}) = x_{1} . x_{2} + x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{2} + y_{1} . y_{3}$ .

+) $\vec{u} . \vec{v} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2}$ và $\vec{u} . \vec{w} = x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3}$

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} + x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3}$ .

b) Theo câu a ta có:

$\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}) = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} + x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3}$ và $\vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} + x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3}$

$\Rightarrow \vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w} .$

Vậy $\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w} .$

c) Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2}$ và $\vec{v} . \vec{u} = x_{2} . x_{1} + y_{2} . y_{1} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} .$

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = \vec{v} . \vec{u} .$

Vậy $\vec{u} . \vec{v} = \vec{v} . \vec{u} .$

Bài tập liên quan

▸HĐ 2 trang 68 Toán 10 Tập 1:Cho hai vectơ cùng phươngu→=x;yvàv→=kx;ky.Hãy kiểm tra công thứcu→.v→=kx2+y2theo từng trường hợp sau:

▸a)u→=0→;

▸b)u→≠0→vàk≥0;

▸c)u→≠0→và k

▸HĐ 3 trang 68 Toán 10 Tập 1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phươngu→=x;yvàv→=x';y'.

▸a) Xác định tọa độ các điểm A và B sao choOA→=u→,OB→=v→.

▸b) Tính AB2, OA2, OB2theo tọa độ của A và B.

▸c) TínhOA→.OB→theo tọa độ của A, B.

▸Luyện tập 3 trang 68 Toán 10 Tập 1:

▸Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơu→=0;−5,v→=3;1

▸HĐ 4 trang 68 Toán 10 Tập 1:Cho ba vectơu→=x1;y1,v→=x2;y2,w→=x3;y3.

▸a) Tínhu→.v→+w→,u→.v→+u→.w→theo tọa độ các vectơu→,v→,w→.

▸b) So sánhu→.v→+w→vàu→.v→+u→.w→.

▸c) So sánhu→.v→vàv→.u→.

▸Giải Toán 10 trang 66 Tập 1

▸Giải Toán 10 trang 67 Tập 1

▸Giải Toán 10 trang 70 Tập 1

Write your answer here

Giải Toán 10 trang 68 Tập 1

HĐ 2 trang 68 Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (k x; k y) .$ Hãy kiểm tra công thức $\vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$ theo từng trường hợp sau:

a) $\vec{u} = \vec{0};$

b) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k \geq 0;$

c) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và k < 0.

Lời giải

Ta có: $\vec{u} = (x; y)$ $\Rightarrow \vec{u}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$\vec{v} = (k x; k y) \Rightarrow \vec{v}| = \sqrt{{(k x)}^{2} + {(k y)}^{2}} = \sqrt{k^{2} x^{2} + k^{2} y^{2}} = \sqrt{k^{2} (x^{2} + y^{2})} = k| \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

a) Vì vectơ $\vec{0}$ vuông góc với mọi vectơ nên vectơ $\vec{v}$ vuông góc với $\vec{u} = \vec{0}$

Do đó $\vec{u} ⊥ \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} . \vec{v} = 0$

Ta có: $\vec{u} = \vec{0} \Rightarrow \vec{u} = (0; 0) \Rightarrow \begin{array}{l} x = 0 \\ y = 0 \end{array}$

Do đó $k (x^{2} + y^{2}) = k (0^{2} + 0^{2}) = 0$

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2}) = 0$

Vậy với $\vec{u} = \vec{0}$ thì công thức $\vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$ đúng.

b) Vì k ≥ 0 nên vectơ $\vec{v} = (k x; k y)$ cùng hướng với vectơ $\vec{u} = (x; y)$

$\Rightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 0 °$

Do đó $\vec{u} . \vec{v} = \vec{u}| \vec{v}| c o s (\vec{u}, \vec{v})$

$= \sqrt{x^{2} + y^{2}} . k| \sqrt{x^{2} + y^{2}} . c os 0 ° = k . (x^{2} + y^{2}) .1 = k (x^{2} + y^{2})$

Vậy với $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k \geq 0$ thì công thức $\vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$ đúng.

c) Vì k < 0 nên vectơ $\vec{v} = (k x; k y)$ ngược hướng với vectơ $\vec{u} = (x; y)$

$\Rightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 180 °$

Do đó: $\vec{u} . \vec{v} = \vec{u}| \vec{v}| c o s (\vec{u}, \vec{v})$

$= \sqrt{x^{2} + y^{2}} . k| \sqrt{x^{2} + y^{2}} . c os18 0 ° = - k . (x^{2} + y^{2}) . (- 1) = k (x^{2} + y^{2})$

Vậy với $\vec{u} \neq \vec{0}$ và k < 0 thì công thức $\vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$ đúng.

HĐ 3 trang 68 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x'; y')$ .

a) Xác định tọa độ các điểm A và B sao cho $\vec{O A} = \vec{u}, \vec{O B} = \vec{v} .$

b) Tính AB², OA², OB² theo tọa độ của A và B.

c) Tính $\vec{O A} . \vec{O B}$ theo tọa độ của A, B.

Lời giải

a) Vì $\vec{O A} = \vec{u}$ mà $\vec{u} = (x; y)$ nên $\vec{O A} = (x; y)$ suy ra A(x; y).

Vì $\vec{O B} = \vec{v}$ mà $\vec{v} = (x'; y')$ nên $\vec{O B} = (x^{'}; y^{'})$ suy ra B(x'; y').

b) +) Ta có: A(x; y) và B(x'; y') $\Rightarrow \vec{A B} = (x' - x; y' - y)$

$\Rightarrow A B = \sqrt{{(x' - x)}^{2} + {(y' - y)}^{2}}$

$\Rightarrow A B^{2} = {(x' - x)}^{2} + {(y' - y)}^{2} .$

+) Ta có :

$\vec{O A} = (x; y) \Rightarrow O A = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \Rightarrow O A^{2} = x^{2} + y^{2} .$

+) Ta có:

$\vec{O B} = (x'; y') \Rightarrow O B = \sqrt{x'^{2} + y'^{2}} \Rightarrow O B^{2} = x'^{2} + y'^{2} .$

Vậy $A B^{2} = {(x' - x)}^{2} + {(y' - y)}^{2};$ $O A^{2} = x^{2} + y^{2}$ và $O B^{2} = x'^{2} + y'^{2} .$

c) Ta có: $\vec{O A} . \vec{O B} = O A . O B . c o s (\vec{O A}, \vec{O B}) = O A . O B . c o s \hat{A O B}$

Xét tam giác OAB, theo định lí côsin ta có:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương (ảnh 1)

Luyện tập 3 trang 68 Toán 10 Tập 1: Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (0; - 5), \vec{v} = (\sqrt{3}; 1)$

Lời giải

Giải Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy $\vec{u} . \vec{v} = - 5$ và góc giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ bằng 120°.

HĐ 4 trang 68 Toán 10 Tập 1: Cho ba vectơ $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}),$ $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}),$ $\vec{w} = (x_{3}; y_{3}) .$

a) Tính $\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}), \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$ theo tọa độ các vectơ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} .$

b) So sánh $\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w})$ và $\vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w}$ .

c) So sánh $\vec{u} . \vec{v}$ và $\vec{v} . \vec{u}$ .

Lời giải

a) Với $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}), \vec{v} = (x_{2}; y_{2})$ và $\vec{w} = (x_{3}; y_{3})$ ta có:

+) $\vec{v} + \vec{w} = (x_{2} + x_{3}; y_{2} + y_{3})$

$\Rightarrow \vec{u} . (\vec{v} + \vec{w})$ $= x_{1} . (x_{2} + x_{3}) + y_{1} . (y_{2} + y_{3}) = x_{1} . x_{2} + x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{2} + y_{1} . y_{3}$ .

+) $\vec{u} . \vec{v} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2}$ và $\vec{u} . \vec{w} = x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3}$

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} + x_{1} . x_{3} + y_{1} . y_{3}$ .

b) Theo câu a ta có:

$\Rightarrow \vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w} .$

Vậy $\vec{u} . (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} . \vec{v} + \vec{u} . \vec{w} .$

c) Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2}$ và $\vec{v} . \vec{u} = x_{2} . x_{1} + y_{2} . y_{1} = x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} .$

$\Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = \vec{v} . \vec{u} .$

Vậy $\vec{u} . \vec{v} = \vec{v} . \vec{u} .$

Giải Toán 10 trang 68 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán 10 trang 68 Tập 1

HĐ 2 trang 68 Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (k x; k y) .$ Hãy kiểm tra công thức $\vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$ theo từng trường hợp sau:

Lời giải

HĐ 3 trang 68 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x'; y')$ .

Lời giải

Luyện tập 3 trang 68 Toán 10 Tập 1: Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (0; - 5), \vec{v} = (\sqrt{3}; 1)$

Lời giải

HĐ 4 trang 68 Toán 10 Tập 1: Cho ba vectơ $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}),$ $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}),$ $\vec{w} = (x_{3}; y_{3}) .$

Lời giải

Bài tập liên quan

Write your answer here

Giải Toán 10 trang 68 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán 10 trang 68 Tập 1

HĐ 2 trang 68 Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (k x; k y) .$ Hãy kiểm tra công thức $\vec{u} . \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$ theo từng trường hợp sau:

Lời giải

HĐ 3 trang 68 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x'; y')$ .

Lời giải

Luyện tập 3 trang 68 Toán 10 Tập 1: Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (0; - 5), \vec{v} = (\sqrt{3}; 1)$

Lời giải

HĐ 4 trang 68 Toán 10 Tập 1: Cho ba vectơ $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}),$ $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}),$ $\vec{w} = (x_{3}; y_{3}) .$

Lời giải

Bài tập liên quan

Write your answer here

Top Questions

Popular Tags