Giải Toán 10 trang 68 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán 10 trang 68 Tập 1

HĐ 2 trang 68 Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ cùng phương $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$và $\overrightarrow{v}=\left(kx;ky\right).$Hãy kiểm tra công thức $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k\left(x^2+y^2\right)$theo từng trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0};$

b) $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và $k\ge 0;$

c) $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và k < 0.

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$ $\Rightarrow \left.\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{x^2+y^2}$

$\overrightarrow{v}=\left(kx;ky\right)\Rightarrow \left.\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{{\left(kx\right)}^2+{\left(ky\right)}^2}=\sqrt{k^2{x}^2+k^2{y}^2}=\sqrt{k^2\left(x^2+y^2\right)}=\left.k\right|\sqrt{x^2+y^2}$

a) Vì vectơ $\overrightarrow{0}$vuông góc với mọi vectơ nên vectơ $\overrightarrow{v}$vuông góc với $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$

Do đó $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}\iff \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$

Ta có: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left(0;0\right)\Rightarrow \begin{array}{l}x=0\\ y=0\end{array}$

Do đó $k\left(x^2+y^2\right)=k\left(0^2+0^2\right)=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k\left(x^2+y^2\right)=0$

Vậy với $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$thì công thức $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k\left(x^2+y^2\right)$đúng.

b) Vì k ≥ 0 nên vectơ $\overrightarrow{v}=\left(kx;ky\right)$cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=0°$

Do đó $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left.\overrightarrow{u}\right|\left.\overrightarrow{v}\right|cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

$=\sqrt{x^2+y^2}.\left.k\right|\sqrt{x^2+y^2}.c\text{os}0°=k.\left(x^2+y^2\right).1=k\left(x^2+y^2\right)$

Vậy với $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$và $k\ge 0$thì công thức $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k\left(x^2+y^2\right)$đúng.

c) Vì k < 0 nên vectơ $\overrightarrow{v}=\left(kx;ky\right)$ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$

 $\Rightarrow \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=180°$

Do đó: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left.\overrightarrow{u}\right|\left.\overrightarrow{v}\right|cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

$=\sqrt{x^2+y^2}.\left.k\right|\sqrt{x^2+y^2}.c\text{os18}0°=-k.\left(x^2+y^2\right).\left(-1\right)=k\left(x^2+y^2\right)$

Vậy với $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$và k < 0 thì công thức $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k\left(x^2+y^2\right)$đúng.

HĐ 3 trang 68 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$và $\overrightarrow{v}=\left(x\text{'};y\text{'}\right)$.

a) Xác định tọa độ các điểm A và B sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}.$

b) Tính AB², OA², OB² theo tọa độ của A và B.

c) Tính $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$ theo tọa độ của A, B.

Lời giải

a) Vì $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$mà $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$nên $\overrightarrow{OA}=\left(x;y\right)$suy ra A(x; y).

Vì $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}$mà $\overrightarrow{v}=\left(x\text{'};y\text{'}\right)$nên $\overrightarrow{OB}=\left(x^{\text{'}};y^{\text{'}}\right)$suy ra B(x'; y').

b) +) Ta có: A(x; y) và B(x'; y') $\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(x\text{'}-x;y\text{'}-y\right)$

$\Rightarrow AB=\sqrt{{\left(x\text{'}-x\right)}^2+{\left(y\text{'}-y\right)}^2}$

$\Rightarrow A{B}^2={\left(x\text{'}-x\right)}^2+{\left(y\text{'}-y\right)}^2.$

+) Ta có :

$\overrightarrow{OA}=\left(x;y\right)\Rightarrow OA=\sqrt{x^2+y^2}\Rightarrow O{A}^2=x^2+y^2.$

+) Ta có: 

$\overrightarrow{OB}=\left(x\text{'};y\text{'}\right)\Rightarrow OB=\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}\Rightarrow O{B}^2=x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2.$

Vậy $A{B}^2={\left(x\text{'}-x\right)}^2+{\left(y\text{'}-y\right)}^2;$ $O{A}^2=x^2+y^2$và $O{B}^2=x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2.$

c) Ta có: $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=OA.OB.cos\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)=OA.OB.cos\widehat{AOB}$

Xét tam giác OAB, theo định lí côsin ta có: 

Luyện tập 3 trang 68 Toán 10 Tập 1: Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(0;-5\right),\overrightarrow{v}=\left(\sqrt{3};1\right)$

Lời giải

Vậy $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-5$và góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$bằng 120°.

HĐ 4 trang 68 Toán 10 Tập 1: Cho ba vectơ  $\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1\right),$ $\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2\right),$ $\overrightarrow{w}=\left(x_3;y_3\right).$

a) Tính $\overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{\text{w}}\right),\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}$ theo tọa độ các vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{\text{w}}.$

b) So sánh $\overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{\text{w}}\right)$ và $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}$.

c) So sánh $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$.

Lời giải

a) Với $\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1\right),\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2\right)$và $\overrightarrow{w}=\left(x_3;y_3\right)$ta có:

+) $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=\left(x_2+x_3;y_2+y_3\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)$$=x_1.\left(x_2+x_3\right)+y_1.\left(y_2+y_3\right)=x_1.x_2+x_1.x_3+y_1.y_2+y_1.y_3$.

+) $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x_1.x_2+y_1.y_2$và $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}=x_1.x_3+y_1.y_3$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}=x_1.x_2+y_1.y_2+x_1.x_3+y_1.y_3$.

b) Theo câu a ta có:

$\overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=x_1.x_2+y_1.y_2+x_1.x_3+y_1.y_3$ và $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}=x_1.x_2+y_1.y_2+x_1.x_3+y_1.y_3$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}.$

Vậy $\overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{\text{w}}.$

c) Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x_1.x_2+y_1.y_2$và $\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}=x_2.x_1+y_2.y_1=x_1.x_2+y_1.y_2.$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}.$

Vậy $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}.$