HĐ 3 trang 68 Toán 10 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto

HĐ 3 trang 68 Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$và $\overrightarrow{v}=\left(x\text{'};y\text{'}\right)$.

a) Xác định tọa độ các điểm A và B sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}.$

b) Tính AB², OA², OB² theo tọa độ của A và B.

c) Tính $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$theo tọa độ của A, B.

Lời giải

a) Vì $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$mà $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$nên $\overrightarrow{OA}=\left(x;y\right)$suy ra A(x; y).

Vì $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}$mà $\overrightarrow{v}=\left(x\text{'};y\text{'}\right)$nên $\overrightarrow{OB}=\left(x^{\text{'}};y^{\text{'}}\right)$suy ra B(x'; y').

b) +) Ta có: A(x; y) và B(x'; y') $\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(x\text{'}-x;y\text{'}-y\right)$

$\Rightarrow AB=\sqrt{{\left(x\text{'}-x\right)}^2+{\left(y\text{'}-y\right)}^2}$

$\Rightarrow A{B}^2={\left(x\text{'}-x\right)}^2+{\left(y\text{'}-y\right)}^2.$

+) Ta có :

$\overrightarrow{OA}=\left(x;y\right)\Rightarrow OA=\sqrt{x^2+y^2}\Rightarrow O{A}^2=x^2+y^2.$

+) Ta có: 

$\overrightarrow{OB}=\left(x\text{'};y\text{'}\right)\Rightarrow OB=\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}\Rightarrow O{B}^2=x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2.$

Vậy $A{B}^2={\left(x\text{'}-x\right)}^2+{\left(y\text{'}-y\right)}^2;$ $O{A}^2=x^2+y^2$và $O{B}^2=x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2.$

c) Ta có: $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=OA.OB.cos\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)=OA.OB.cos\widehat{AOB}$

Xét tam giác OAB, theo định lí côsin ta có: