Luyện tập 2 trang 67 Toán 10 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto

Luyện tập 2 trang 67 Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$theo a, b, c.

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.c\text{os}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos \widehat{BAC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=bc.c\text{os}\widehat{BAC}$

Xét tam giác ABC, theo định lí côsin ta có: $cos\widehat{BAC}=\frac{A{C}^2+A{B}^2-B{C}^2}{2AC.AB}$

$\Rightarrow \text{cos}\widehat{\text{BAC}}\text{=}\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=bc.\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}$

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}.$