Giải Toán 10 trang 67 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán 10 trang 67 Tập 1

Câu hỏi trang 67 Toán 10 Tập 1: Khi nào tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$là một số dương? Là một số âm?

Lời giải

Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$được tính bởi công thức sau:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left.\overrightarrow{u}\right|.\left.\overrightarrow{v}\right|.c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right).$

Vì $\left.\overrightarrow{u}\right|>0,\left.\overrightarrow{v}\right|>0$nên dấu của tích vô hướng $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$phụ thuộc vào dấu của $c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

+) Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$là một số dương thì $c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\text{> 0}$

Khi đó góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$là góc nhọn hoặc bằng 0°.

+) Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$là một số âm thì $c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)<0.$

Khi đó góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$là góc tù hoặc bằng 180°.

Vậy khi $0°\le \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)<90°$thì tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$là một số dương;

Khi $90°<\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\le 180°$thì tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$là một số âm.

Câu hỏi trang 67 Toán 10 Tập 1: Khi nào thì ${\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}^2={\overrightarrow{u}}^2.{\overrightarrow{v}}^2?$

Lời giải

2. Tích vô hướng của hai vecto

Luyện tập 2 trang 67 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$theo a, b, c.

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.c\text{os}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos \widehat{BAC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=bc.c\text{os}\widehat{BAC}$

Xét tam giác ABC, theo định lí côsin ta có: $cos\widehat{BAC}=\frac{A{C}^2+A{B}^2-B{C}^2}{2AC.AB}$

$\Rightarrow \text{cos}\widehat{\text{BAC}}\text{=}\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=bc.\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}$

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}.$