Bài 3.16 trang 44 Toán 10 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 3

Bài 3.16 trang 44 Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:

a) $cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC}=0;$

b) MA² + MB² – AB² = 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$và MA² + MC² – AC² = 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$;

c) $M{A}^2=\frac{2\left(A{B}^2+A{C}^2\right)-B{C}^2}{4}$(công thức đường trung tuyến).

Lời giải:

a) Ta có: $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}={180}^o$

$\Rightarrow$ $\widehat{AMC}={180}^o-\widehat{AMB}$

$\Rightarrow$ $cos\widehat{AMB}=-cos\left({180}^o-\widehat{AMB}\right)=-cos\widehat{AMC}$

$\Rightarrow$ $cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC}=-cos\widehat{AMC}+cos\widehat{AMC}=0$

Vậy $cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC}=0$(đpcm)

b) Áp dụng định lí côsin trong ΔAMB, ta có:

AB² = MA² + MB² – 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$

$\iff$ MA² + MB² – AB² = 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$(1)

Áp dụng định lí côsin trong ΔAMC, ta có:

AC² = MA² + MC² – 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$

$\iff$ MA² + MC² – AC² = 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

c) Từ (1) suy ra: MA² = AB² – MB² + 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$

Từ (2) suy ra: MA² = AC² – MC²+ 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$

Cộng vế với vế, ta được:

2MA² =(AB² – MB² + 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$) + (AC² – MC²+ 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$)

$\iff$2MA² = AB²+ AC²– MB²– MC²+ 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$+ 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$

Mà $MB=MC=\frac{BC}{2}$(do AM là trung tuyến) nên:

2MA² = AB²+ AC²– ${\left(\frac{BC}{2}\right)}^2$– ${\left(\frac{BC}{2}\right)}^2$+ 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$+ 2MA.MB.cos$\widehat{AMC}$

$\iff$2MA² = AB²+ AC²– $2.{\left(\frac{BC}{2}\right)}^2$+ 2MA.MB.(cos$\widehat{AMB}$+ cos$\widehat{AMC}$)

$\iff$2MA² = AB²+ AC²– $\frac{B{C}^2}{2}$

$\iff$ $M{A}^2=\frac{A{B}^2+A{C}^2-\frac{B{C}^2}{2}}{2}$

$\iff M{A}^2=\frac{2\left(A{B}^2+A{C}^2\right)-B{C}^2}{4}$(công thức đường trung tuyến).