HĐ 2 trang 38 Toán 10 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

HĐ 2 trang 38 Toán 10 tập 1: Trong Hình 3.8, hãy thực hiện các bước sau để thiết lập công thức tính a theo b, c và giá trị lượng giác của góc A.

a) Tính a² theo BD² và CD².

b) Tính a² theo b, c và DA.

c) Tính DA theo c và cos A.

d) Chứng minh a² = b² + c² – 2bc cos A.

Lời giải

a) Xét tam giác BDC vuông tại D, theo định lý Pythagore ta có:BC² = BD² + DC².

Hay a² = BD² + DC² (1)

b) Xét ΔBDA vuông tại D, ta có:

BA² = BD² + DA²

Suy ra BD² = BA² – DA² = c² – DA² (*)

Mà DC = DA + AC = DA + b nên DC² = (DA + b)² (**)

Thay (*) và (**) vào (1), ta được:

a² = c² – DA² + (DA + b)² = c² – DA² + DA² + 2b . DA + b²

= c² + b² + 2b . DA.

Vậy a² = c² + b² + 2b . DA (2)

c) Xét ΔBDA vuông tại D, ta có:

$\cos \alpha =\frac{DA}{c}$ $\Rightarrow$ DA = c. cos α.

Mà cos α = cos (180^o – A) = − cos A (do góc α và góc A bù nhau).

Do đó DA = − c. cos A.

d) Thay DA = − c. cos A vào biểu thức (2), ta được:

a² = c² + b² + 2b . (− c. cos A)

= b² + c² − 2bc. cos A.

Vậy a² = b² + c² − 2bc. cos A (đpcm).