Vận dụng 2 trang 40 Toán 10 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Vận dụng 2 trang 40 Toán 10 tập 1: Từ một khu vực có thể quan sát hai đỉnh núi, ta có thể ngắm và đo để xác định khoảng cách giữa hai đỉnh núi đó. Hãy thảo luận để đưa ra các bước cho một cách đo.

Lời giải:

Bước 1: Tại khu vực quan sát, đặt một cọc tiêu cố định tại vị trí A. Kí hiệu hai đỉnh núi lần lượt là điểm B và điểm C.

Đứng tại A, ngắm điểm B và điểm C để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó.

Bước 2: Đo khoảng cách từ vị trí ngắm đến từng đỉnh núi, tức là tính AB, AC.

* Tính AB bằng cách:

+ Đứng tại A, ngắm đỉnh núi B để xác định góc ngắm so với mặt đất, kí hiệu là góc α.

+ Theo hướng ngắm, đặt tiếp cọc tiêu tại D gần đỉnh núi hơn và đo đoạn AD. Xác định góc ngắm tại điểm D, kí hiệu là góc β.

Ta có hình vẽ:

Ta có: $\widehat{ADB}={180}^o-\beta$; $\widehat{DBA}=\beta -\alpha$.

Áp dụng định lí sin vào ∆ABD, ta được: $\frac{AB}{\sin \widehat{ADB}}=\frac{DA}{\sin \widehat{DBA}}$

$\Rightarrow AB=\sin \widehat{ADB}.\frac{DA}{\sin \widehat{DBA}}$

$\Rightarrow AB=\sin (180°-\beta ).\frac{DA}{\sin (\beta -\alpha )}$.

* Tương tự ngắm và đo để xác định AC.

Ta có: $\widehat{AEC}={180}^o-\delta$; $\widehat{ACE}=\delta -\gamma$.

Áp dụng định lí sin vào ∆ACE, ta được: $\frac{AC}{\sin \widehat{AEC}}=\frac{AE}{\sin \widehat{ACE}}$

$\Rightarrow AC=\sin \widehat{AEC}.\frac{AE}{\sin \widehat{ACE}}$

$\Rightarrow AC=\sin ({180}^o-\delta ).\frac{AE}{\sin (\delta -\gamma )}$.

Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai đỉnh núi, bằng cách áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC để tính độ dài cạnh BC.

Ta có: BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cosBAC.

Với AB, AC, góc BAC đã biết ở các bước trên, thay vào ta tính được BC chính là khoảng cách giữa hai đỉnh núi.