Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh BC sao cho MC = 2MB. Đường thẳng qua M

Giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 8

Bài 65 trang 84 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh BC sao cho MC = 2MB. Đường thẳng qua M song song với AC cắt AB ở D. Đường thẳng qua M song song với AB cắt AC ở E. Gọi x, y lần lượt là chu vi tam giác DBM và tam giác ECM. Tính x + 2y, biết chu vi tam giác ABC bằng 30 cm.

Lời giải:

• Do MC = 2MB và MB + MC = BC nên BC = MB + 2MB = 3MB

Do đó $\frac{BM}{BC}=\frac{1}{3}.$

Vì DM // AB nên ∆BDM ᔕ ∆BAC.

Suy ra $\frac{BD}{BA}=\frac{BM}{BC}=\frac{DM}{AC}$ (tỉ số đồng dạng)

Do đó $\frac{BD}{BA}=\frac{BM}{BC}=\frac{DM}{AC}$ = $\frac{BD+BM+DM}{AB+BC+CA}$ = $\frac{ChuvitamgiácDBM}{ChuvitamgiácABC}$ (tính chất của dãy tỉ số bằng nhau).

Mà $\frac{BM}{BC}=\frac{1}{3}$ nên $\frac{ChuvitamgiácDBM}{ChuvitamgiácABC}=\frac{1}{3}.$

Do đó chu vi tam giác DBM là $x=\frac{1}{3}\cdot 30=10$ (cm).

• Do MC = 2MB hay $MB=\frac{1}{2}MC$

Do MB + MC = BC nên $BC=\frac{1}{2}MC+MC=\frac{3}{2}MC$

Suy ra $\frac{CM}{CB}=\frac{2}{3}.$

Vì EM // AC nên ∆ECM ᔕ ∆ACB.

Suy ra $\frac{EC}{AC}=\frac{EM}{AB}=\frac{CM}{CB}$ (tỉ số đồng dạng)

Do đó $\frac{EC}{AC}=\frac{EM}{AB}=\frac{CM}{CB}$ = $\frac{EC+EM+CM}{AC+AB+CB}$ = $\frac{ChuvitamgiácECM}{ChuvitamgiácABC}$(tính chất của dãy tỉ số bằng nhau).

Mà $\frac{CM}{CB}=\frac{2}{3}$ nên $\frac{ChuvitamgiácECM}{ChuvitamgiácABC}=\frac{2}{3}.$

Do đó chu vi tam giác ECM là $y=\frac{2}{3}\cdot 30=20$ (cm).

Vậy x + 2y = 10 + 2.20 = 50 (cm).