Sách bài tập Toán 8 Bài 4 (Cánh diều): Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử

Giải SBT Toán 8 Bài 4: Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử - Cánh diều

Giải SBTToán 8 trang 17

Bài 22 trang 17 SBT Toán 8 Tập 1:Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:

a) $25x^2-\frac{1}{4}$;

b) 36x² + 12xy + y²;

c) $\frac{x^3}{2}+4$;

d) 27y³ + 27y² + 9y + 1.

Lời giải:

a) $25x^2-\frac{1}{4}={\left(5x\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\left(5x-\frac{1}{2}\right)\left(5x+\frac{1}{2}\right)$.

b) 36x² + 12xy + y² = (6x)² + 2.6.1.xy + y² = (6x + y)².

c) $\frac{x^3}{2}+4=\frac{1}{2}\left(x^3+2^3\right)=\frac{1}{2}\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)$.

d) 27y³ + 27y² + 9y + 1 = (3y)³ + 3.(3y)².1 + 3.3y.1² + 1³ = (3y + 1)³.

Bài 23 trang 17 SBT Toán 8 Tập 1:Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:

a) x³(13xy ‒ 5) ‒ y³(5 ‒ 13xy);

b) 8x³yz + 12x²yz + 6xyz + yz.

Lời giải:

a) x³(13xy ‒ 5) ‒ y³(5 ‒ 13xy)

= x³(13xy ‒ 5) + y³(13xy ‒ 5)

= (13xy ‒ 5)(x³ + y³)

= (13xy ‒ 5)(x + y)(x² ‒ xy + y²).

b) 8x³yz + 12x²yz + 6xyz + yz

= yz(8x³ + 12x² + 6x + 1)

= yz[(2x)³ + 3.(2x)².1 + 3.2x.1² + 1³)]

= yx(2x + 1)³.

Giải SBTToán 8 trang 18

Bài 24 trang 18 SBT Toán 8 Tập 1:Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a)$A=x^2+xy+\frac{y^2}{4}$biết$x+\frac{y}{2}=100$.

b) B = 25x²z ‒ 10xyz + y²z biết 5x ‒ y = ‒20và z = ‒5.

c) C = x³yz + 3x²y²z + 3xy³z + y⁴zbiết x + y = ‒0,5và yz = 8.

Lời giải:

a) Ta có:$A=x^2+xy+\frac{y^2}{4}=x^2+2.x.\frac{y}{2}+{\left(\frac{y}{2}\right)}^2={\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2$.

Thay$x+\frac{y}{2}=100$vào biểu thức trên ta có: A = 100²= 10000.

b) Ta có: B = 25x²z ‒ 10xyz + y²z

= z(25x²‒ 10xy + y²)

= z[(5x)²‒ 2.5x.y + y²)]

= z(5x ‒ y)².

Thay 5x ‒ y = ‒20 và z = ‒5 vào biểu thức trên ta có:

B = ‒5.(‒20)²= –5.400 = ‒2 000.

c) Ta có: C = x³yz + 3x²y²z + 3xy³z + y⁴z

= yz(x³+ 3x²y + 3xy²+ y³)

= yz(x + y)³.

Thay x + y = ‒0,5 và yz = 8 vào biểu thức trên ta có:

$C=8.{\left(-0,5\right)}^3=8.{\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=8.\left(-\frac{1}{8}\right)=-1$.

Bài 25* trang 18 SBT Toán 8 Tập 1:Chứng minh biểu thức B = x⁵‒ 15x²‒ x + 5chia hết cho 5 với mọi số nguyên x.

Lời giải:

Trước hết, ta chứng minh (x⁵‒ x) ⋮ 5.

Ta có: x⁵‒ x = x(x⁴‒ 1) = x(x²‒ 1)(x²+ 1) = x(x ‒ 1)(x + 1)(x²+ 1)

• Nếu x = 5k thì x ⋮ 5.

Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x²+ 1) ⋮ 5 hay (x⁵‒ x) ⋮ 5.

• Nếu x = 5k + 1thì x ‒ 1 = 5k ⋮ 5 .

Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x²+ 1)⋮ 5hay(x⁵‒ x) ⋮ 5.

• Nếu x = 5k + 2thì x²+ 1 = (5k + 2)²+ 1 = 25k²+ 20k + 5 ⋮ 5.

Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x²+ 1)⋮ 5hay(x⁵‒ x) ⋮ 5.

• Nếu x = 5k + 3thì x²+ 1 = (5k + 3)²+ 1 = 25k²+ 30k + 10⋮ 5.

Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x²+ 1)⋮ 5hay(x⁵‒ x) ⋮ 5.

• Nếu x = 5k + 4thì x + 1 = 5k + 5 ⋮ 5.

Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x²+ 1)⋮ 5hay(x⁵‒ x) ⋮ 5.

Do đó x⁵‒ x ⋮ 5với mọi số nguyên x.

Ta có: x⁵‒ x ⋮ 5; 15x²⋮ 5; 5 ⋮ 5nên x⁵‒ 15x²‒ x + 5⋮ 5với mọi số nguyên x.

Vậy Bchia hết cho 5 với mọi số nguyên x.

Bài 26 trang 18 SBT Toán 8 Tập 1:Cho tam giác ABC có cạnh BC = 2x (dm), đường cao AH = x (dm) với x > 0 và hình vuông MNPQ có cạnh MN = y (dm) với y > 0 (Hình 4).

a) Viết công thức tính tổng diện tích của các tam giác AMN, BMQ, CNPdưới dạng tích.

b) Tính tổng diện tích của các tam giác AMN, BMQ, CNP, biết x ‒ y = 2và x + y = 10.

Lời giải:

a) Diện tích của tam giác ABC là:

$\frac{1}{2}.AH.BC=\frac{1}{2}.x.2x=x^2$(dm²)

Diện tích hình vuông MNPQ là:

MN²= y²(dm²)

Vì vậy, tổng diện tích của các tam giác AMN, BMQ, CNP là:

S = x²‒ y²(dm²)

b) Từ câu a, ta có

S = x²‒ y²= (x ‒ y)(x + y)

Thay x – y = 2 và x + y = 10 vào S ta được:

S = 2.10 = 20 (dm²).

Vậy tổng diện tích của các tam giác AMN, BMQ, CNP là20 dm².

Bài 27 trang 18 SBT Toán 8 Tập 1:Biểu thức nào sau đây là một đơn thức?

A. x²‒ y.

B. x²+ y.

C. x²y.

D.$\frac{x^2}{y}$.

Lời giải:

Đáp ánđúng là:C

Biểu thức x²ylà một đơn thức, ta chọn phương án C.

Bài 28 trang 18 SBT Toán 8 Tập 1:Biểu thức (x ‒ 2y)²bằng:

A. x²+ 2xy + 2y².

B. x²‒ 2xy + 2y².

C. x²+ 4xy + 4y².

D. x²‒ 4xy + 4y².

Lời giải:

Đáp ánđúng là: D

Ta có: (x ‒ 2y)²= x²– 2.x.2y + (2y)²= x²‒ 4xy + 4y².

Bài 29 trang 18 SBT Toán 8 Tập 1:Biểu thức x³+ 64y³bằng:

A. (x + 4y)(x²‒ 4xy + 16y²).

B. (x + 4y)(x²‒ 4xy + 4y²).

C. (x + 4y)(x²+ 4xy + 16y²).

D. (x + 4y)(x²‒ 8xy + 16y²).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: x³+ 64y³= x³+ (4y)³

= (x + 4y)[x²‒ x.4y + (4y)²].

= (x + 4y)(x²‒ 4xy + 16y²).

Bài 30 trang 18 SBT Toán 8 Tập 1:Thực hiện phép tính:

a)$x^3\left(-\frac{5}{4}{x}^{2}y\right)\left(\frac{2}{5}{x}^3{y}^4\right)$;

b)$\left(-\frac{3}{4}{x}^5{y}^4\right)\left(x{y}^2\right)\left(-\frac{8}{9}{x}^2{y}^5\right)$.

Lời giải:

a)$x^3\left(-\frac{5}{4}{x}^{2}y\right)\left(\frac{2}{5}{x}^3{y}^4\right)$

$=\left(-\frac{5}{4}.\frac{2}{5}\right).\left(x^3.x^2.x^3\right)\left(y.y^4\right)$

$=\frac{-1}{2}{x}^8{y}^5$.

b)$\left(-\frac{3}{4}{x}^5{y}^4\right)\left(x{y}^2\right)\left(-\frac{8}{9}{x}^2{y}^5\right)$

$=\left(\frac{-3}{4}.\frac{-8}{9}\right).\left(x^5.x.x^2\right)\left(y^4.y^2.y^5\right)$

$=\frac{2}{3}{x}^8{y}^{11}$.