Chứng minh biểu thức B = x^5 ‒ 15x^2 ‒ x + 5 chia hết cho 5 với mọi số nguyên x

Giải SBT Toán 8Bài 4: Luyện tập hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 25* trang 18 SBT Toán 8 Tập 1:Chứng minh biểu thức B = x⁵‒ 15x²‒ x + 5chia hết cho 5 với mọi số nguyên x.

Lời giải:

Trước hết, ta chứng minh (x⁵‒ x) ⋮ 5.

Ta có: x⁵‒ x = x(x⁴‒ 1) = x(x²‒ 1)(x²+ 1) = x(x ‒ 1)(x + 1)(x²+ 1)

• Nếu x = 5k thì x ⋮ 5.

Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x²+ 1) ⋮ 5 hay (x⁵‒ x) ⋮ 5.

• Nếu x = 5k + 1thì x ‒ 1 = 5k ⋮ 5 .

Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x²+ 1)⋮ 5hay(x⁵‒ x) ⋮ 5.

• Nếu x = 5k + 2thì x²+ 1 = (5k + 2)²+ 1 = 25k²+ 20k + 5 ⋮ 5.

Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x²+ 1)⋮ 5hay(x⁵‒ x) ⋮ 5.

• Nếu x = 5k + 3thì x²+ 1 = (5k + 3)²+ 1 = 25k²+ 30k + 10⋮ 5.

Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x²+ 1)⋮ 5hay(x⁵‒ x) ⋮ 5.

• Nếu x = 5k + 4thì x + 1 = 5k + 5 ⋮ 5.

Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x²+ 1)⋮ 5hay(x⁵‒ x) ⋮ 5.

Do đó x⁵‒ x ⋮ 5với mọi số nguyên x.

Ta có: x⁵‒ x ⋮ 5; 15x²⋮ 5; 5 ⋮ 5nên x⁵‒ 15x²‒ x + 5⋮ 5với mọi số nguyên x.

Vậy Bchia hết cho 5 với mọi số nguyên x.