Sách bài tập Toán 8 Bài 9 (Cánh diều): Hình đồng dạng

Giải SBT Toán 8 Bài 9: Hình đồng dạng

Bài 50 trang 81 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC. Các điểm M, P, R, Q lần lượt nằm trên AB, BE, EF, FA sao cho $\frac{BM}{MA}=\frac{QF}{QA}=\frac{RF}{RE}=\frac{BP}{PE}=1,8$ (Hình 50).

Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

a) Hai đoạn thẳng EF và AB đồng dạng phối cảnh, điểm C là tâm đồng dạng phối cảnh.

b) Hai đoạn thẳng MP và AE đồng dạng phối cảnh, điểm B là tâm đồng dạng phối cảnh và $\frac{BM}{BA}=\frac{BP}{BE}=\frac{3}{5}.$

c) Hai đoạn thẳng PR và BF đồng dạng phối cảnh, điểm E là tâm đồng dạng phối cảnh.

Lời giải:

⦁ Xét ∆ABC có E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC nên $\frac{CF}{CA}=\frac{CE}{CB}=\frac{1}{2}.$

Ta thấy hai đường thẳng AF và BE cùng đi qua điểm C và $\frac{CF}{CA}=\frac{CE}{CB}$ nên hai đoạn thẳng EF và AB đồng dạng phối cảnh, điểm C là tâm đồng dạng phối cảnh. Do đó khẳng định a) là đúng.

⦁ Ta có $\frac{BM}{MA}=1,8=\frac{9}{5}$

Suy ra $\frac{BM}{BM+MA}=\frac{9}{9+5}$

Hay $\frac{BM}{BA}=\frac{9}{14}.$ Do đó khẳng định b) sai.

⦁ Ta có $\frac{RF}{RE}=\frac{BP}{PE}$ nên $\frac{ER}{RF}=\frac{EP}{PB}$

Do đó $\frac{ER}{ER+RF}=\frac{EP}{EP+PB}$ hay $\frac{ER}{EF}=\frac{EP}{EB}$

Ta thấy hai đường thẳng RF và PB cùng đi qua điểm E và $\frac{ER}{EF}=\frac{EP}{EB}$ nên hai đoạn thẳng PR và BF đồng dạng phối cảnh, điểm E là tâm đồng dạng phối cảnh. Do đó khẳng định c) đúng.

Vậy chỉ có khẳng định b) sai.

Bài 51 trang 81 SBT Toán 8 Tập 2: Cho điểm O nằm ngoài tam giác MNP. Trên các tia OM, ON, OP ta lần lượt lấy các điểm M’, N’, P’ sao cho $\frac{O{M}^{\text{'}}}{OM}=\frac{O{N}^{\text{'}}}{ON}=\frac{O{P}^{\text{'}}}{OP}=\frac{5}{3}$ (Hình 51).

a) Tam giác M’N’P’ có đồng dạng phối cảnh với tam giác MNP hay không? Nếu có, hãy chỉ ra tâm đồng dạng phối cảnh.

b) Hãy chỉ ra đoạn thẳng AB sao cho hai đoạn thẳng AB và MP đồng dạng phối cảnh, điểm O là tâm đồng dạng phối cảnh và $\frac{OA}{OM}=\frac{OB}{OP}=\frac{1}{4}.$

Lời giải:

a) Ta thấy ba đường thẳng MM’, NN’, PP’ cùng đi qua điểm O và $\frac{O{M}^{\text{'}}}{OM}=\frac{O{N}^{\text{'}}}{ON}=\frac{O{P}^{\text{'}}}{OP}=\frac{5}{3}$ nên tam giác M’N’P’ đồng dạng phối cảnh với tam giác MNP và O là tâm đồng dạng phối cảnh.

b)

Gọi KH là đường trung bình của tam giác MOP (K ∈ OM, H ∈ OP).

Lấy A, B lần lượt là trung điểm của OK, OH.

Khi đó $\frac{OA}{OM}=\frac{\frac{1}{2}OK}{2OK}=\frac{1}{4}$; $\frac{OB}{OP}=\frac{\frac{1}{2}OH}{2OH}=\frac{1}{4}$ nên $\frac{OA}{OM}=\frac{OB}{OP}=\frac{1}{4}.$

Ta thấy hai đường thẳng AM và BP cùng đi qua điểm O và $\frac{OA}{OM}=\frac{OB}{OP}=\frac{1}{4}$ nên hai đoạn thẳng AB và MP đồng dạng phối cảnh, điểm O là tầm đồng dạng phối cảnh với $\frac{OA}{OM}=\frac{OB}{OP}=\frac{1}{4}$.

Bài 52 trang 82 SBT Toán 8 Tập 2: Quan sát Hình 52, biết các điểm A, B, C, D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng IA’, IB’, IC’, ID’.

a) Cho biết hai tứ giác ABCD và A’B’C’D’ có đò̀ng dạng phối cảnh hay không? Nếu có, hãy chỉ ra tâm đồng dạng phối cảnh.

b) Tứ giác A’B’C’D’ có là hình chữ nhật hay không, nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật? Vì sao?

Lời giải:

a) Xét ∆IA’B’ có A, B lần lượt là trung điểm của IA’, IB’ nên $\frac{IA}{I{A}^{\text{'}}}=\frac{IB}{I{B}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}.$

Tương tự, ta sẽ có $\frac{IA}{I{A}^{\text{'}}}=\frac{IB}{I{B}^{\text{'}}}=\frac{IC}{I{C}^{\text{'}}}=\frac{ID}{I{D}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}.$

Ta thấy bốn đường thẳng AA’, BB’, CC’, DD’ cùng đi qua điểm I và $\frac{IA}{I{A}^{\text{'}}}=\frac{IB}{I{B}^{\text{'}}}=\frac{IC}{I{C}^{\text{'}}}=\frac{ID}{I{D}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}$ nên tứ giác ABCD đồng dạng phối cảnh với tứ giác A’B’C’D’ và I là tâm đồng dạng phối cảnh.

b) Xét ∆IA’B’ có A, B lần lượt là trung điểm của IA’, IB’ nên AB là đường trung bình của ∆IA’B’. Do đó AB// A’B’ và $\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}.$

Tương tự, ta sẽ có: $\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{BC}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{CD}{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\frac{AD}{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}.$

Do ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD, AD = BC.

Suy ra A’B’ = C’D’, A’D’ = B’C’.

Do đó, tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.

Mặt khác, AB // A’B’ và BC // B’C’ nên $\widehat{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\widehat{ABC}=90°.$

Do đó, hình bình hành A’B’C’D’ là hình chữ nhật.

Bài 53 trang 82 SBT Toán 8 Tập 2: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

a) Hai hình đồng dạng phối cảnh (hay vị tự) không là hai hình đồng dạng.

b) Nếu điểm O là tâm đồng dạng phối cảnh của hai đoạn thẳng AB và A’B’ đồng dạng phối cảnh thì AB // A’B’.

c) Hình ϰ’ gọi là đồng dạng với hình ϰ nếu hình ϰ’ bằng một hình nào đó đồng dạng phối cảnh với hình ϰ.

Lời giải:

⦁ Hai hình đồng dạng phối cảnh (hay vị tự) là hai hình đồng dạng. Do đó phát biểu a) sai.

⦁ Nếu điểm O là tâm đồng dạng phối cảnh của hai đoạn thẳng AB và A’B’ đồng dạng phối cảnh thì $\frac{OA}{O{A}^{\text{'}}}=\frac{OB}{O{B}^{\text{'}}}$, do đó AB // A’B’ hoặc AB trùng A’B’. Do đó phát biểu b) sai.

⦁ Hình ϰ’ gọi là đồng dạng với hình ϰ nếu hình ϰ’ bằng một hình nào đó đồng dạng phối cảnh với hình ϰ. Do đó phát biểu c) đúng.

Vậy trong các phát biểu đã cho, phát biểu c) đúng.

Bài 54 trang 82 SBT Toán 8 Tập 2: Trong Hình 53, các điểm A, B, C, D lần lượt là các điểm nằm trên các đoạn thẳng IM, IN, IP, IQ sao cho $\frac{IA}{IM}=\frac{IB}{IN}=\frac{IC}{IP}=\frac{ID}{IQ}=\frac{1}{3}$. Quan sát Hình 53 và cho biết:

a) Hai hình bình hành MNPQ và A’B’C’D’ có bằng nhau hay không;

b) Hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’ có đồng dạng hay không.

Lời giải:

a) Quan sát Hình 53, ta thấy hai hình bình hành MNPQ và A’B’C’D’ bằng nhau.

b) Ta thấy bốn đường thẳng AM, BN, CP, DQ cùng đi qua điểm I và $\frac{IA}{IM}=\frac{IB}{IN}=\frac{IC}{IP}=\frac{ID}{IQ}=\frac{1}{3}$ nên hai hình bình hành ABCD, MNPQ đồng dạng phối cảnh và I là tâm đồng dạng phối cảnh.

Mặt khác, hai hình bình hành MNPQ và A’B’C’D’ bằng nhau.

Do đó, hình bình hành ABCD đồng dạng với hình bình hành A’B’C’D’.

Bài 55 trang 82 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có AB = 13, BC = 14, CA = 15. Cho D, E là hai điểm phân biệt.

a) Giả sử tam giác A’B’C’ là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC với điểm D là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}=\frac{4}{5}$. Tìm độ dài các cạnh của tam giác A’B’C’.

b) Giả sử tam giác A’’B’’C’’ là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC với điểm E là tâm đồng đạng phối cảnh, tỉ số $\frac{A^{\text{'}\text{'}}{B}^{\text{'}\text{'}}}{AB}=\frac{4}{5}$. Tìm độ đài các cạnh của tam giác A’’B’’C’’.

c) Chứng minh diện tích tam giác A’B’C’ bằng diện tích tam giác A’’B’’C’’.

Lời giải:

a) Do tam giác A’B’C’ là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC tỉ số $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}=\frac{4}{5}$ nên $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{AC}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{BC}=\frac{4}{5}$

Mà AB = 13, BC = 14, CA = 15 nên:

$A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=\frac{4\cdot 13}{5}=10,4$; $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=\frac{4\cdot 14}{5}=11,2$; $C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}=\frac{4\cdot 15}{5}=12.$

Vậy A’B’ = 10,4; B’C’ = 11,2; C’A’ = 12.

b) Do tam giác A’’B’’C’’ là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC tỉ số $\frac{A^{\text{'}\text{'}}{B}^{\text{'}\text{'}}}{AB}=\frac{4}{5}$ nên $\frac{A^{\text{'}\text{'}}{B}^{\text{'}\text{'}}}{AB}=\frac{A^{\text{'}\text{'}}{C}^{\text{'}\text{'}}}{AC}=\frac{B^{\text{'}\text{'}}{C}^{\text{'}\text{'}}}{BC}=\frac{4}{5}$

Mà AB = 13, BC = 14, CA = 15 nên:

$A^{\text{'}\text{'}}{B}^{\text{'}\text{'}}=\frac{4\cdot 13}{5}=10,4$; $B^{\text{'}\text{'}}{C}^{\text{'}\text{'}}=\frac{4\cdot 14}{5}=11,2$; $C^{\text{'}\text{'}}{A}^{\text{'}\text{'}}=\frac{4\cdot 15}{5}=12.$

Vậy A’’B’’ = 10,4; B’’C’’ = 11,2; C’’A’’ = 12.

c) Xét ∆A’B’C’ và ∆A’’B’’C’’ có:

A’B’ = A’’B’’ = 10;

B’C’ = B’’C’’ = 11,2;

A’C’ = A’’C’’ = 12;

Do đó ∆A’B’C’ = ∆A’’B’’C’’ (c.c.c).

Suy ra diện tích tam giác A’B’C’ bằng diện tích tam giác A’’B’’C’’.