Sách bài tập Toán 8 Bài 4 (Cánh diều): Tính chất đường phân giác của tam giác

Giải SBT Toán 8 Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 21 trang 67 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8 cm, AC = 6 cm, có hai đường phân giác AD, BE cắt nhau tại O. Tính:

a) Độ dài các đoạn thẳng AE, EC;

b) Khoảng cách từ O đến đường thẳng AC;

c) Độ dài đường phân giác AD (theo đơn vị centimét và làm tròn kết quả đến hàng phần mười);

d) Diện tích tam giác DOE.

Lời giải:

a) Xét ∆ABC vuông tại A nên theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AC² + AB² = 6² + 8² = 100, suy ra BC = 10 (cm).

Xét ∆ABC có BE là phân giác góc ABC nên $\frac{EA}{EC}=\frac{BA}{BC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$ (tính chất đường phân giác).

Suy ra $\frac{AE}{4}=\frac{EC}{5}=\frac{AE+EC}{4+5}=\frac{AC}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

Vậy $AE=4\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{3}$ (cm); $EC=5\cdot \frac{2}{3}=\frac{10}{3}$ (cm).

b) Kẻ OH ⊥ AC tại H. Khi đó khoảng cách từ O đến đường thẳng AC là độ dài đoạn thẳng OH.

Ta có OH ⊥ AC, AB ⊥ AC nên OH // AB.

Xét ∆ABE với OH // AB, ta có: $\frac{HO}{AB}=\frac{EO}{EB}$ (định lí Thalès) (1).

Xét ∆AEB có AO là phân giác của góc CAB nên $\frac{OE}{OB}=\frac{AE}{AB}=\frac{\frac{8}{3}}{8}=\frac{1}{3}$ (tính chất đường phân giác)

Suy ra $\frac{OE}{OB+OE}=\frac{1}{3+1}$ hay $\frac{EO}{EB}=\frac{1}{4}$ (2).

Từ (1) và (2) ta có $\frac{HO}{AB}=\frac{1}{4}$, suy ra $OH=\frac{1}{4}\cdot AB=\frac{1}{4}\cdot 8=2$ (cm).

c) Kẻ DK ⊥ AC, DI ⊥ AB, suy ra $\widehat{DKA}=\widehat{DIA}=90°.$

Tứ giác AKDI có $\widehat{DKA}=\widehat{DIA}=\widehat{KAI}=90°$ nên AKDI là hình chữ nhật

Lại có đường chéo AD là phân giác $\widehat{KAI}$ nên AKDI là hình vuông.

Suy ra AK = DK = DI.

Ta có S_∆ABC = S_∆ADC + S_∆ADB nên $\frac{AC\cdot AB}{2}=\frac{AC\cdot DK}{2}+\frac{AB\cdot DI}{2}$

Hay AC.AB = AC.DK + AB.DI = (AB + AC).DK (do DK = DI).

Từ đó, ta có: $DK=\frac{AB\cdot AC}{AB+AC}=\frac{8\cdot 6}{8+6}=\frac{48}{14}=\frac{24}{7}.$

Xét ∆AKC vuông tại K có AD² = AK² + DK² (định lí Pythagore)

Suy ra AD² = AK² + DK² = DK² + DK² = 2DK²

Do đó $AD=DK\sqrt{2}=\frac{24\sqrt{2}}{7}\approx 4,8$ (cm).

d) Ta có: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$ (cm²).

Mà $\frac{S_{\Delta BCE}}{S_{\Delta BAC}}=\frac{\frac{1}{2}BA\cdot EC}{\frac{1}{2}BA\cdot AC}=\frac{EC}{AC}=\frac{10}{3}:6=\frac{5}{9}$

Do đó $S_{\Delta BCE}=\frac{5}{9}\cdot S_{\Delta BAC}=\frac{5}{9}\cdot 24=\frac{40}{3}$ (cm²).

Tương tự, ta có: $\frac{S_{\Delta BDE}}{S_{\Delta BCE}}=\frac{DB}{CB}$

Xét ∆ABC có AD là đường phân giác của góc CAB nên $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ (tính chất đường phân giác)

Suy ra $\frac{DB}{DC+DB}=\frac{AB}{AC+AB}$ hay $\frac{DB}{CB}=\frac{8}{8+6}=\frac{8}{14}=\frac{4}{7}$

Nên $\frac{S_{\Delta BDE}}{S_{\Delta BCE}}=\frac{DB}{CB}=\frac{4}{7}.$

Suy ra $S_{\Delta \text{BDE }}=\frac{4}{7}{S}_{\Delta BCE}=\frac{4}{7}\cdot \frac{40}{3}=\frac{160}{21}$ (cm²)

Lại có $\frac{S_{\Delta ODE}}{S_{\Delta BDE}}=\frac{OE}{BE}=\frac{1}{4}$

Suy ra $S_{\Delta DOE}=\frac{1}{4}\cdot S_{\Delta BDE}=\frac{1}{4}\cdot \frac{160}{21}=\frac{40}{21}$ (cm²).

Bài 22 trang 67 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 74 cm. Đường phân giác của góc A chia cạnh BC thành hai đoạn BD và DC tỉ lệ với 2 và 3, đường phân giác của góc C chia cạnh AB thành hai đoạn EB và EA tỉ lệ với 4 và 5. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

Lời giải:

Trong ∆ABC có:

AD là phân giác góc A nên $\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}=\frac{2}{3}$, suy ra $\frac{AB}{2}=\frac{AC}{3}$ hay $\frac{AB}{10}=\frac{AC}{15}$ (1)

CE là phân giác góc C nên $\frac{CB}{CA}=\frac{EB}{EA}=\frac{4}{5}$, suy ra $\frac{BC}{4}=\frac{AC}{5}$ hay $\frac{BC}{12}=\frac{AC}{15}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{AB}{10}=\frac{BC}{12}=\frac{AC}{15}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{AB}{10}=\frac{BC}{12}=\frac{AC}{15}=\frac{AB+BC+AC}{10+12+15}=\frac{74}{37}=2.$

Vậy: AB = 2.10 = 20 cm;

BC = 2.12 = 24 cm;

AC = 2.15 = 30 cm.

Bài 23 trang 67 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hình bình hành ABCD. Đường phân giác của góc A cắt BD tại E, đường phân giác của góc B cắt AC tại F. Chứng minh:

a) $\frac{BE}{ED}=\frac{AF}{FC};$

b) EF // AB.

Lời giải:

a) Tam giác ABD có AE là đường phân giác của góc A nên $\frac{EB}{ED}=\frac{AB}{AD}$ (1).

Tam giác ABC có BF là đường phân giác của góc B nên $\frac{FA}{FC}=\frac{BA}{BC}$ (2).

Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC, do đó $\frac{AB}{AD}=\frac{BA}{BC}$ (3)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{EB}{ED}=\frac{FA}{FC}.$

b) Ta có: $\frac{EB}{ED}=\frac{FA}{FC}$ suy ra $\frac{EB+ED}{ED}=\frac{FA+FC}{FC}$ hay $\frac{BD}{ED}=\frac{AC}{FC}$

Gọi O là giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD. Khi đó O là trung điểm của AC, BD nên BD = 2OD và AC = 2OC.

Do đó $\frac{2OD}{ED}=\frac{2OC}{FC}$ hay $\frac{OD}{ED}=\frac{OC}{FC}.$

Xét ∆ODC có $\frac{OD}{ED}=\frac{OC}{FC}$ nên EF // CD (định lí Thalès đảo)

Mà AB // CD (do ABCD là hình bình hành)

Do đó EF // AB.

Bài 24 trang 68 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có đường phân giác AD và AB = 6 cm, AC = 9 cm. Đường trung trực của đoạn AD cắt cạnh AC tại E. Tính độ đài của đoạn thẳng DE.

Lời giải:

Ta có E nằm trên đường trung trực của đoạn AD nên EA = ED, do đó tam giác AED cân tại E.

Suy ra $\widehat{EDA}=\widehat{EAD}.$

Mà $\widehat{EAD}=\widehat{DAB}$ (do AD là đường phân giác của tam giác ABC)

Do đó $\widehat{EDA}=\widehat{DAB}$

Lại có hai góc $\widehat{EDA},\widehat{DAB}$ở vị trí so le trong nên DE // AB.

Xét ∆ABC với DE // AB, ta có $\frac{ED}{AB}=\frac{CD}{CB}$ (hệ quả của định lí Thalès)

Mặt khác, do AD là đường phân giác của góc BAC nên $\frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

Nên $\frac{DC}{DC+DB}=\frac{3}{3+2}=\frac{3}{5}$

Suy ra $\frac{DC}{BC}=\frac{3}{5}$, do đó $\frac{ED}{AB}=\frac{3}{5}$

Vậy $DE=\frac{3}{5}AB=\frac{3}{5}\cdot 6=3,6$ (cm).

Bài 25 trang 68 SBT Toán 8 Tập 2: Một người đứng ở vị trí M trên cây cầu bắc qua con kênh quan sát ba điểm thẳng hàng A, B, D lần lượt là chân hai cột đèn trồng ở bờ kênh và chân cầu (Hình 26). Người đó nhận thấy góc nhìn đến hai điểm A, D thì bằng góc nhìn đến hai điểm B, D, tức là $\widehat{AMD}=\widehat{BMD}$. Người đó muốn ước lượng tỉ số khoảng cách từ vị trí M đang đứng đến điểm A và đến điểm B mà không cần phải đo trực tiếp hai khoảng cách đó. Hỏi có thể ước lượng tỉ số đó được hay không?

Lời giải:

Ta có $\widehat{AMD}=\widehat{BMD}$ suy ra MD là đường phân giác của góc AMB.

Do đó $\frac{MA}{MB}=\frac{DA}{DB}.$

Vậy người đó có thể ước lượng được tỉ số khoảng cách từ vị trí M đang đứng đến điểm A và đến điểm B mà không cần phải đo trực tiếp hai khoảng cách đó bằng cách đo các khoảng cách DA, DB và tính $\frac{DA}{DB}.$