Cho hình bình hành ABCD. Đường phân giác của góc A cắt BD tại E, đường phân giác

Giải SBT Toán 8 Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 23 trang 67 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hình bình hành ABCD. Đường phân giác của góc A cắt BD tại E, đường phân giác của góc B cắt AC tại F. Chứng minh:

a) $\frac{BE}{ED}=\frac{AF}{FC};$

b) EF // AB.

Lời giải:

a) Tam giác ABD có AE là đường phân giác của góc A nên $\frac{EB}{ED}=\frac{AB}{AD}$ (1).

Tam giác ABC có BF là đường phân giác của góc B nên $\frac{FA}{FC}=\frac{BA}{BC}$ (2).

Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC, do đó $\frac{AB}{AD}=\frac{BA}{BC}$ (3)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{EB}{ED}=\frac{FA}{FC}.$

b) Ta có: $\frac{EB}{ED}=\frac{FA}{FC}$ suy ra $\frac{EB+ED}{ED}=\frac{FA+FC}{FC}$ hay $\frac{BD}{ED}=\frac{AC}{FC}$

Gọi O là giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD. Khi đó O là trung điểm của AC, BD nên BD = 2OD và AC = 2OC.

Do đó $\frac{2OD}{ED}=\frac{2OC}{FC}$ hay $\frac{OD}{ED}=\frac{OC}{FC}.$

Xét ∆ODC có $\frac{OD}{ED}=\frac{OC}{FC}$ nên EF // CD (định lí Thalès đảo)

Mà AB // CD (do ABCD là hình bình hành)

Do đó EF // AB.