Sách bài tập Toán 8 Bài 5 (Cánh diều): Tam giác đồng dạng

Giải SBT Toán 8 Bài 5: Tam giác đồng dạng

Bài 26 trang 67 SBT Toán 8 Tập 2: Tìm khẳng định sai:

a) Nếu ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC thì ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’.

b) Nếu ∆A’’B’’C’’ ᔕ ∆A’B’C’ và ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC thì $\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}\text{'}}};\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}\text{'}}};\widehat{C}=\widehat{C^{\text{'}\text{'}}}.$

c) Nếu ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC thì chu vi tam giác ABC bằng nửa chu vi tam giác A’B’C’.

d) Nếu ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’ thì $\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{BC}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{CA}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}.$

Lời giải:

Phát biểu c) là sai.

Vì nếu ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC với tỉ số đồng dạng k thì ta có:

k = $\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{BC}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{CA}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=\frac{AB+BC+CA}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}+B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}+C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ = $\frac{\text{ Chu vi tam giác }ABC}{\text{ Chu vi tam giác }{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$

(tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)

Do đó tỉ số của chu vi tam giác ABC và chu vi tam giác A’B’C’ bằng tỉ số đồng dạng.

Bài 27 trang 67 SBT Toán 8 Tập 2: Cho ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’ với tỉ số đồng dạng là 3. Tính các cạnh AB, BC, CA, biết $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{3}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{7}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{5}$ và A’B’ + B’C’ + C’A’ = 30 (cm).

Lời giải:

Do ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’ với tỉ số đồng dạng là 3 nên $\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{BC}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{CA}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=3$

Hay AB = 3A’B’, BC = 3B’C’, CA = 3C’A’ (1)

Mặt khác, theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{3}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{7}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{5}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}+B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}+A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{15}=\frac{30}{15}=2$

Suy ra A’B’ = 3.2 = 6 (cm), B’C’ = 7.2 = 14 (cm), A’C’ = 5.2 = 10 (cm) (2)

Từ (1) và (2), ta có: AB = 3.6 = 18 (cm);

BC = 3.14 = 42 (cm);

CA = 3.10 = 30 (cm).

Bài 28 trang 67 SBT Toán 8 Tập 2: Quan sát Hình 28 biết $\widehat{AMN}=\widehat{ABC},\widehat{BAC}=\widehat{BML}.$

a) Chứng minh: ∆AMN ᔕ ∆MBL.

b) Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB để chu vi tam giác AMN bằng $\frac{2}{3}$ chu vi tam giác ABC.

Lời giải:

a) Vì $\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$ và 2 góc này ở vị trí đồng vị nên MN // BC.

Do đó ∆AMN ᔕ ∆ABC (1).

Vì $\widehat{BAC}=\widehat{BML}$ và 2 góc này ở vị trí đồng vị nên ML // AC.

Do đó ∆MBL ᔕ ∆ABC (2).

Từ (1), (2) ta có ∆AMN ᔕ ∆MBL.

b) Giả sử ∆AMN ᔕ ∆ABC với tỉ số đồng dạng k, ta có: $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}=k.$

Suy ra $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$ = $\frac{AM+AN+MN}{AB+AC+BC}=k$ hay $\frac{\text{ Chu vi tam giác }AMN}{\text{ Chu vi tam giác }ABC}=k.$

Do đó, để chu vi tam giác AMN bằng $\frac{2}{3}$ chu vi tam giác ABC thì $AM=\frac{2}{3}AB.$

Ngược lại, dễ thấy nếu $AM=\frac{2}{3}AB$ thì chu vi tam giác ABC bằng $\frac{2}{3}$ chu vi tam giác ABC.

Vậy vị trí của điểm M trên cạnh AB để chu vi tam giác AMN bằng $\frac{2}{3}$ chu vi tam giác ABC là $AM=\frac{2}{3}AB.$

Bài 29 trang 67 SBT Toán 8 Tập 2: Để đo khoảng cách giữa hai địa điểm D, E ở hai bên bờ của một con sông, người ta chọn các vị trí A, B, C ở cùng một bên bờ với điểm D và đo được AB = 2 m, AC = 3 m, CD = 15 m (Hình 29), Giả sử ∆ABC ᔕ ∆DEC.

Tính khoảng cách DE.

Lời giải:

Vì ∆ABC ᔕ ∆DEC nên $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DC}$ (tỉ số đồng dạng)

Hay $\frac{2}{DE}=\frac{3}{15}$

Do đó $DE=\frac{2\cdot 15}{3}=10$ (m).

Bài 30 trang 67 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Lấy điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE = AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng DC lần lượt tại M và N. Các đường thẳng NA, MB cắt nhau tại K.

a) Chứng minh: ∆KAB ᔕ ∆KNM; ∆CEM ᔕ ∆DAM; ∆NFD ᔕ ∆NBC.

b) So sánh CM.DN và AB².

c) Các điểm E, F lấy ở vị trí nào trên các cạnh BC, AD thì MN có độ dài nhỏ nhất?

Lời giải:

a) Do ABCD là hình vuông nên AB // CD, AD // BC.

M, N ∈ CD nên AB // MN.

E ∈ BC, F ∈ AD nên CE // AD, DF // BC.

• Vì AB // MN nên ∆KAB ᔕ ∆KNM;

• Vì CE // AD nên ∆CEM ᔕ ∆DAM;

• Vì DF // BC nên ∆NFD ᔕ ∆NBC.

b) Vì AB // CM nên ∆CEM ᔕ ∆BEA, do đó $\frac{CM}{BA}=\frac{CE}{BE}$ (1).

Vì AB // ND nên ∆NDF ᔕ ∆BAF, do đó $\frac{DF}{AF}=\frac{ND}{BA}$ hay $\frac{AF}{DF}=\frac{BA}{DN}$ (2).

Từ (1), (2) và CE = AF, BE = DF, ta có $\frac{CM}{BA}=\frac{CE}{BE}=\frac{AF}{DF}=\frac{BA}{DN}.$

Hay $\frac{CM}{BA}=\frac{BA}{DN}$ nên CM.DN = AB².

c) Ta có (CM ‒ DN)² ≥ 0

Suy ra (CM² + 2.CM.DN + DN² ‒ 4.CM.DN) ≥ 0

Do đó (CM + DN)² ≥ 4CM.DN.

Hay $CM+DN\ge 2\sqrt{CM\cdot DN}=2\sqrt{A{B}^2}=2AB$

Do đó MN = MC + CD + DN ≥ 3AB (vì AB = CD)

Dấu "=" xảy ra khi CM = DN = AB = a.

Khi đó, $\frac{CM}{BA}=\frac{CE}{BE}=1$ nên E là trung điểm của BC. Tương tự, lúc này F là trung điểm của AD.

Vậy MN có độ dài nhỏ nhất bằng 3AB khi E, F lần lượt là trung điểm của BC và AD.