Quan sát Hình 52, biết các điểm A, B, C, D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng IA’, IB’, IC’, ID’

Giải SBT Toán 8 Bài 9: Hình đồng dạng

Bài 52 trang 82 SBT Toán 8 Tập 2: Quan sát Hình 52, biết các điểm A, B, C, D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng IA’, IB’, IC’, ID’.

a) Cho biết hai tứ giác ABCD và A’B’C’D’ có đò̀ng dạng phối cảnh hay không? Nếu có, hãy chỉ ra tâm đồng dạng phối cảnh.

b) Tứ giác A’B’C’D’ có là hình chữ nhật hay không, nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật? Vì sao?

Lời giải:

a) Xét ∆IA’B’ có A, B lần lượt là trung điểm của IA’, IB’ nên $\frac{IA}{I{A}^{\text{'}}}=\frac{IB}{I{B}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}.$

Tương tự, ta sẽ có $\frac{IA}{I{A}^{\text{'}}}=\frac{IB}{I{B}^{\text{'}}}=\frac{IC}{I{C}^{\text{'}}}=\frac{ID}{I{D}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}.$

Ta thấy bốn đường thẳng AA’, BB’, CC’, DD’ cùng đi qua điểm I và $\frac{IA}{I{A}^{\text{'}}}=\frac{IB}{I{B}^{\text{'}}}=\frac{IC}{I{C}^{\text{'}}}=\frac{ID}{I{D}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}$ nên tứ giác ABCD đồng dạng phối cảnh với tứ giác A’B’C’D’ và I là tâm đồng dạng phối cảnh.

b) Xét ∆IA’B’ có A, B lần lượt là trung điểm của IA’, IB’ nên AB là đường trung bình của ∆IA’B’. Do đó AB// A’B’ và $\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}.$

Tương tự, ta sẽ có: $\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{BC}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{CD}{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\frac{AD}{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}.$

Do ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD, AD = BC.

Suy ra A’B’ = C’D’, A’D’ = B’C’.

Do đó, tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.

Mặt khác, AB // A’B’ và BC // B’C’ nên $\widehat{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\widehat{ABC}=90°.$

Do đó, hình bình hành A’B’C’D’ là hình chữ nhật.