Cho tam giác ABC cân tại A, AB = 10 cm, BC = 12 cm. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác

Giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 8

Bài 69 trang 85 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, AB = 10 cm, BC = 12 cm. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ABC. Tính độ dài AI.

Lời giải:

Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng AI và BC.

Do tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác AI cũng là đường cao, đường trung tuyến của tam giác.

Do đó $BH=\frac{BC}{2}=6$ (cm).

Tam giác AHB vuông tại H nên theo định lí Pythagore ta có:

AH² = AB² ‒ BH² = 10² ‒ 6² = 64

Suy ra AH = 8 cm.

Xét ∆ABH có BI là phân giác góc B nên ta có: $\frac{IA}{IH}=\frac{BA}{BH}$ (tính chất đường phân giác)

Suy ra $\frac{AI}{AI+IH}=\frac{AB}{AB+BH}$ hay $\frac{AI}{AH}=\frac{AB}{AB+BH}$

Do đó $\frac{AI}{8}=\frac{10}{10+6}=\frac{5}{8}$ nên $AI=\frac{8\cdot 5}{8}=5$ (cm).

Vậy AI = 5 cm.