Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a

Giải Toán 12 Ôn tập chương 1

Bài 6 trang 26 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc 60^o. Gọi D là giao của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.

a) Tính tỉ số thể tích giữa hai khối chóp S.DBC và S.ABC.

b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC.

Lời giải:

a) Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)

$\Rightarrow$ AH là hình chiếu của SA lên (ABC)

$\Rightarrow \left(SA;\left(ABC\right)\right)=\widehat{SAH}=60°$

Gọi E là trung điểm của BC

$\Rightarrow AE=AC.\sin ACB=a.\sin 60°=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Lại có H là trọng tâm của tam giác đều ABC

$\Rightarrow AH=\frac{2}{3}AE=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Ta có tam giác SAH vuông tại H nên:

$SA=\frac{AH}{\cos SAH}=\frac{a\sqrt{3}}{3}:\frac{1}{2}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

Lại có:

$SA\perp \left(DBC\right)\left(gt\right)\Rightarrow SA\perp DE$

Khi đó tam giác DEA vuông tại D

$\Rightarrow$ AD = AE . cosDAE

= $\frac{a\sqrt{3}}{2}.cos60°=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Khi đó: SD = SA – AD

= $\frac{2a\sqrt{3}}{3}-\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{5a\sqrt{3}}{12}$

$\Rightarrow \frac{V_{S.DBC}}{V_{S.ABC}}=\frac{SD}{SA}=\frac{5a\sqrt{3}}{12}:\frac{2a\sqrt{3}}{3}=\frac{5}{8}$

b) Tam giác SAH vuông tại H nên:

$SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{\frac{4}{3}{a}^2-\frac{1}{3}{a}^2}=a$

Diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin 60°=\frac{1}{2}a.a.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Thể tích khối chóp S.ABC là:

$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABC}=\frac{1}{3}.a.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

Do đó thể tích khối chóp S.DBC là:

$V_{S.DBC}=\frac{5}{8}.V_{S.ABC}=\frac{5}{8}.\frac{a^3\sqrt{3}}{12}=\frac{5a^3\sqrt{3}}{96}$