Toán 12 Bài 2: Cực trị của hàm số

Mục lục Giải Toán 12 Bài 2: Cực trị của hàm số

Hoạt động 1 trang 13 Toán 12 Giải tích: Dựa vào đồ thị (H.7, H.8), hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất):

a) y = -x² + 1 trong khoảng (-∞; +∞);

b)  $y=\frac{x}{3}{\left(x-3\right)}^2$trong các khoảng $\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$ và $\left(\frac{3}{2};4\right)$.

Xét dấu đạo hàm của các hàm số đã cho và điền vào các bảng dưới đây.

Lời giải:

Quan sát các đồ thị hàm số, ta thấy:

a) Tại x = 0 hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1.

Xét dấu đạo hàm:

b) Tại x = 1 hàm số có giá trị lớn nhất bằng $\frac{4}{3}$.

Tại x = 3 hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 0.

Xét dấu đạo hàm:

Hoạt động 2 trang 14 Toán 12 Giải tích: Giả sử f(x) đạt cực đại tại x₀. Hãy chứng minh khẳng định 3 trong chú ý trên bằng cách xét giới hạn tỉ số $\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$ khi Δx → 0 trong hai trường hợp Δx > 0 và Δx < 0.

Lời giải:

+ Với Δx > 0, ta có:

$\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=0=f^{\text{'}}\left({x_0}^{+}\right)$

+ Với Δx < 0, ta có:

$\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=0=f^{\text{'}}\left({x_0}^{-}\right)$

Do đó: 

$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=0=f^{\text{'}}\left(x_0\right)$

Vậy f’(x₀) = 0.

Hoạt động 3 trang 14 Toán 12 Giải tích:

a) Sử dụng đồ thị, hãy xét xem các hàm số sau đây có cực trị hay không.

• y = -2x + 1;

• $y=\frac{x}{3}{\left(x-3\right)}^2$ (H.8).

b) Nêu mối quan hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm.

Lời giải:

a) Hàm số y = -2x + 1 không có cực trị (vì đồ thị của hàm số là một đường thẳng).

Quan sát Hình 8, ta thấy hàm số $y=\frac{x}{3}{\left(x-3\right)}^2$ đạt cực đại tại x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 3.

b) Nếu hàm số có cực trị thì dấu của đạo hàm bên trái và bên phải điểm cực trị sẽ khác nhau.

Hoạt động 4 trang 16 Toán 12 Giải tích: Chứng minh hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0. Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không ?

Lời giải:

Ta có: $y=\left|x\right|=\begin{array}{l}xkhix\ge 0\\ -xkhix<0\end{array}$

Khi đó: $y^{\text{'}}=\begin{array}{l}1khix\ge 0\\ -1khix<0\end{array}$

Lại có: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{y}^{\text{'}}=1;\underset{x\to 0^{-}}{\lim }{y}^{\text{'}}=-1$ 

hay $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{y}^{\text{'}}\ne \underset{x\to 0^{-}}{\lim }{y}^{\text{'}}$

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 0.

Nhưng dựa vào đồ thị của hàm số y = |x|

Ta có hàm số đạt cực trị tại x = 0.

Bài 1 trang 18 Toán 12 Giải tích: Áp dụng Quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x³ + 3x² – 36x – 10;

b) y = x⁴ + 2x² – 3;

c) $y=x+\frac{1}{x}$ ;

d) y = x³ (1 – x²);

e) $y=\sqrt{x^2-x+1}$.

Lời giải:

a) TXĐ: D = $ℝ$

Ta có: y' = 6x² + 6x – 36

y' = 0 $\iff$6x² + 6x – 36 = 0  

$\iff \begin{array}{l}x=2\\ x=-3\end{array}$

Bảng biến thiên:

Kết luận:

Hàm số đạt cực đại tại x = -3 ; y_CĐ = 71

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y_CT = -54.

b) TXĐ: D = $ℝ$

Ta có: y' = 4x³ + 4x = 4x(x² + 1)

y' = 0$\iff$4x(x² + 1) = 0

$\iff$ x = 0 (do x² + 1 > 0 với mọi x)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y_CT = -3

       hàm số không có điểm cực đại.

c) TXĐ: D = $ℝ$ \ {0}

Ta có: $y^{\text{'}}=1-\frac{1}{x^2}$

y' = 0$\iff 1-\frac{1}{x^2}=0\iff x^2=1$

$\iff$ x = ±1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1; y_CĐ = -2;

       hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; y_CT = 2.

d) TXĐ: D = $ℝ$

Ta có: y' = (x³)’.(1 – x)² + x³.[(1 – x)²]’

= 3x².(1 – x)² + x³.2(1 – x).(1 – x)’

= 3x²(1 – x)² – 2x³(1 – x)

= x².(1 – x)(3 – 5x)

y' = 0 ⇔ x = 0; x = 1 hoặc x = $\frac{3}{5}$

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=\frac{3}{5}$, giá trị cực đại là y_CĐ  = $\frac{108}{3125}$.

       hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu là y_CT = 0.

(Lưu ý: x = 0 không phải là cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi đi qua x = 0.)

e) Tập xác định: D = $ℝ$

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}$

Có y' = 0

$\iff 2x-1=0\iff x=\frac{1}{2}$

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = $\frac{1}{2}$, giá trị cực tiếu y_CT = $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Bài 2 trang 18 Toán 12 Giải tích: Áp dụng Quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) y = x⁴ - 2x² + 1;

b) y = sin2x – x;

c) y = sinx + cosx;

d) y = x⁵ - x³ - 2x + 1.

Lời giải:

a) TXĐ: D = $ℝ$

Ta có: y' = 4x³ - 4x

Có y' = 0$\iff$4x(x² – 1) = 0

$\iff$ x = 0 hoặc x = ±1.

Lại có: y" = 12x² - 4

y"(0) = -4 < 0 nên x = 0 là điểm cực đại của hàm số.

y"(1) = 8 > 0 nên x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

y"(-1) = 8 > 0 nên x = -1 là điểm cực tiểu của hàm số.

b) TXĐ: D = $ℝ$

Ta có: y' = 2cos2x – 1;

Có y' = 0 $\iff$2cos2x – 1 = 0

 $\iff$cos 2x = $\frac{1}{2}$

 $\iff$2x = $\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

 $\iff$ x = $\pm \frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Lại có:  y" = -4.sin2x

${y^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{6}+k\pi \right)=-4\sin \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)$

$=-4\sin \frac{\pi }{3}=-4.\frac{\sqrt{3}}{2}=-2\sqrt{3}<0vớik\in \mathbb{Z}$ 

Do đó: x = $\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ là các điểm cực đại của hàm số.

Lại có:

${y^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(-\frac{\pi }{6}+k\pi \right)=-4\sin \left(-\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)$

 $=-4\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-4.\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=2\sqrt{3}>0k\in \mathbb{Z}$

Do đó: x = $-\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ là các điểm cực tiểu của hàm số.

c) TXĐ: D = $ℝ$

Ta có: y’ = cos x – sin x.

Có y' = 0 $\iff$ cos x – sin x = 0

$\iff \sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=0$

$\iff x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Lại có:

y'' = – sin x – cos x

$=-\sqrt{2}cos\left(x-\frac{\pi }{4}\right)$

Ta có:

${y^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=-\sqrt{2}\cos \left(\frac{\pi }{4}+k\pi -\frac{\pi }{4}\right)=-\sqrt{2}\cos k\pi =\begin{array}{l}\sqrt{2}khikle\\ -\sqrt{2}khikchan\end{array}$

Do đó: hàm số đại cực đại tại các điểm $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ và đạt cực tiểu tại các điểm $x=\frac{\pi }{4}+\left(2k+1\right)\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

d) TXĐ: D = $ℝ$

Ta có: y' = 5x⁴ – 3x² – 2

Có y' = 0$\iff$5x⁴ – 3x² – 2 = 0

$\iff \begin{array}{l}{x}^2=1\left(tm\right)\\ x^2=\frac{-2}{5}\left(ktm\right)\end{array}\iff x=\pm 1.$

Lại có: y" = 20x³ – 6x

Do y"(– 1) = – 20 + 6 = –14 < 0

Nên x = – 1 là điểm cực đại của hàm số.

Do y"(1) = 20 – 6 = 14 > 0

Nên x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

Bài 3 trang 18 Toán 12 Giải tích: Chứng minh rằng hàm số$y=\sqrt{\left|x\right|}$   không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.

Lời giải:

Hàm số $y=\sqrt{\left|x\right|}$có tập xác định D = $ℝ$ và liên tục trên $ℝ$.

+ Chứng minh hàm số $y=f\left(x\right)=\sqrt{\left|x\right|}$

không có đạo hàm tại x = 0.

Xét giới hạn :

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\sqrt{-x}}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-1}{\sqrt{-x}}=-\infty \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x}}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty$

Suy ra không tồn tại giới hạn $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}.$ 

Hay hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

+ Chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 (Dựa theo định nghĩa).

Ta có : f(x) > 0 = f(0) với mọi x thuộc (-1; 1) và x ≠ 0

Do đó hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = 0.

Bài 4 trang 18 Toán 12 Giải tích: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số y = x³ – mx² – 2x + 1 luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

Lời giải:

TXĐ: D = $ℝ$

Ta có: y' = 3x² – 2mx – 2

y' = 0$\iff$ 3x² – 2mx – 2 = 0

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{m-\sqrt{m^2+6}}{3}\\ x=\frac{m+\sqrt{m^2+6}}{3}\end{array}$

Lại có: y'' = 6x – 2m

$\mathrm{Do}{{\mathrm{y}}^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(\frac{\mathrm{m}-\sqrt{{\mathrm{m}}^2+6}}{3}\right)=6.\frac{\mathrm{m}-\sqrt{{\mathrm{m}}^2+6}}{3}-2\mathrm{m}$   

$=-2\sqrt{m^2+6}<0\forall m$

Nên $x=\frac{m-\sqrt{m^2+6}}{3}$ là một điểm cực đại của hàm số.

$\mathrm{Do}{{\mathrm{y}}^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(\frac{\mathrm{m}+\sqrt{{\mathrm{m}}^2+6}}{3}\right)=6.\frac{\mathrm{m}+\sqrt{{\mathrm{m}}^2+6}}{3}-2\mathrm{m}=2\sqrt{{\mathrm{m}}^2+6}>0\forall \mathrm{m}$

Nên $x=\frac{m+\sqrt{m^2+6}}{3}$ là một điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy hàm số luôn có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu với mọi m.

Bài 5 trang 18 Toán 12 Giải tích: Tìm a và b để các cực trị của hàm số y = $\frac{5}{3}{a}^2{x}^3+2a{x}^2-9x+b$ đều là nhưng số dương và x₀ = $\frac{5}{9}$ là điểm cực đại.

Lời giải:

TXĐ: D = $ℝ$

Ta có: y' = 5a²x² + 4ax – 9

Suy ra y'' = 10a²x + 4a

- Nếu a = 0 thì y' = – 9 < 0 với mọi số thực x

Do đó hàm số không có cực trị (loại)

- Nếu a ≠ 0.

y' = 0 $\iff$ 5a²x² + 4ax – 9 = 0

 $\iff$5. (ax)² + 4 . ax – 9 = 0

 $\iff \begin{array}{l}x=\frac{1}{a}\\ x=\frac{-9}{5a}\end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{1}{a}\\ x=\frac{-9}{5a}\end{array}$  

Có ${f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(\frac{1}{a}\right)=10a^2.\frac{1}{a}+4a=14a$

${f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(\frac{-9}{5a}\right)=10a^2.\frac{-9}{5a}+4a=-14a$  

+ TH1: $x=\frac{1}{a}$ là điểm cực đại

Khi đó $\begin{array}{l}\frac{1}{a}=\frac{-5}{9}\\ 14a<0\end{array}\iff a=-\frac{9}{5}$

Suy ra $x=\frac{-9}{5a}$ là điểm cực tiểu.

Khi đó: y_CĐ = $f\left(\frac{1}{a}\right)=\frac{80}{27}+b$

          y_CT = $f\left(\frac{-9}{5a}\right)=\frac{-36}{5}+b$ 

Các cực trị của hàm số đều dương nên

$\begin{array}{l}\frac{80}{27}+b>0\\ \frac{-36}{5}+b>0\end{array}\iff b>\frac{-36}{5}$

TH2: $x=\frac{-9}{5a}$ là điểm cực đại

Khi đó: $\begin{array}{l}\frac{-9}{5a}=\frac{-5}{9}\\ -14a<0\end{array}\iff a=\frac{81}{25}$

Suy ra $x=\frac{1}{a}$ là điểm cực tiểu

Khi đó: y_CĐ = $f\left(\frac{-9}{5a}\right)=4+b$

          y_CT = $f\left(\frac{1}{a}\right)=\frac{-400}{243}+b$ 

Các cực trị của hàm số đều dương nên

$\begin{array}{l}4+b>0\\ \frac{-400}{243}+b>0\end{array}\iff b>\frac{400}{243}$

Vậy  $\begin{array}{l}a=\frac{-9}{5}\\ b>\frac{36}{5}\end{array}$hoặc $\begin{array}{l}a=\frac{81}{25}\\ b>\frac{400}{243}\end{array}$là các giá trị cần tìm.

Bài 6 trang 18 Toán 12 Giải tích: Xác định giá trị của tham số m để hàm số m để hàm số $y=\frac{x^2+mx+1}{x+m}$ đạt giá trị cực đại tại x = 2.

Lời giải:

TXĐ: D = $ℝ\backslash \left.-m\right\}$

Ta có:  

$y=\frac{x^2+mx+1}{x+m}=\frac{x\left(x+m\right)+1}{x+m}=x+\frac{1}{x+m}$

Suy ra $y^{\text{'}}=1-\frac{1}{{\left(x+m\right)}^2}$

Có y' = 0$\iff 1-\frac{1}{{\left(x+m\right)}^2}=0$

$\iff {\left(x+m\right)}^2=1$

$\iff \begin{array}{l}x=-m-1\\ x=-m+1\end{array}$

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào BBT thấy hàm số đạt cực đại tại x = – m – 1.

Để hàm số đạt cực đại tại x = 2

nên – m – 1 = 2$\iff$m = – 3.

Vậy m = – 3.

Bài giảng Toán 12 Bài 2: Cực trị của hàm số